Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,4 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 70 kNділянка 1: Ø25 mm, 0,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 20 kW при 500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть поперечну силу V_x безпосередньо ліворуч від опори B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 9,5 mP₁ = 15 kN у 1 mP₂ = 55 kN у 9,5 mопори в x = 0 і x = 8 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 6 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 45 kN у 6 mw = 5 kN/m від 0 до 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 210 mm і товщиною 14 mm, повну висоту 480 mm і стінку товщиною 10 mm. Знайдіть його пружний момент опору S_x при згині відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 210 mmH = 480 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 35 MPa на розтяг і 120 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент M_allow, який може витримати балка.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −50 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 90 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 35° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 90 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 23 kNa = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 140 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 140 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 53,86 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1257) = 2,653 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,4/7,427 × 10⁻⁶ = 53856 N = 53,86 kN

Відповідь

P = 53,86 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 222,8 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 142,6 MPa

σ₂ = 222,8 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 222,8 MPa

Відповідь

σ_max = 222,8 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 2,155 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(26000·613592) = 0,03761 rad

φ = 0,03761·180/π = 2,155°

Відповідь

φ = 2,155°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 33,89 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·50)) = 33,89 mm

Відповідь

d = 33,89 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −12,19 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·1 + 55·9,5

R_B = 537,5/8 = 67,19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 67,19 = 2,813 kN

Переріз безпосередньо ліворуч від B, залишаємо ліву частину

V_x = R_A − P₁ = 2,813 − 15 = −12,19 kN

Відповідь

V_x = −12,19 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 97,5 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·6 + 5·8·4

R_B = 430/8 = 53,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 53,75 = 31,25 kN

Розріжте в x = 6 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 31,25·6 − 5·6·3 = 97,5 kN·m

Відповідь

M_x = 97,5 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: S_x = 1651 × 10³ mm³

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 480 − 2·14 = 452 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·480³ − 200·452³)/12

I_x = 3,963 × 10⁸ mm⁴

Момент опору перерізу

c = H/2 = 240 mm

S_x = I/c = 3,963 × 10⁸/240

S_x = 1,651 × 10⁶ mm³ = 1651 × 10³ mm³

Відповідь

S_x = 1651 × 10³ mm³

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 4,716 kN·m

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Центр ваги

ȳ = (2400·187,5 + 2520·90)/4920 = 137,6 mm

верхній край: c = 195 − 137,6 = 57,44 mm

Момент інерції перерізу

I = 160·15³/12 + 2400·49,94² + 14·180³/12 + 2520·47,56² = 1,853 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Додатний момент: верх стиснутий, низ розтягнутий.

верхній край: M = 120·1,853 × 10⁷/57,44 = 38,72 kN·m

нижній край: M = 35·1,853 × 10⁷/137,6 = 4,716 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 4,716 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 4,716 kN·m

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 70,71 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((−50 − 50)/2)² + −50²) = 70,71 MPa

Відповідь

τ_max = 70,71 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 121 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 80 + 10·0,342 + 40·0,9397 = 121 MPa

Відповідь

σ_θ = 121 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 18,79 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 23000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 23000·1000²·5000²/(3·1,7 × 10¹²·6000) = 18,79 mm

Відповідь

δ_P = 18,79 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 1,831 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·2500⁴/(384·200000·6,944) = 1,831 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,831 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 1,831 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 33,91 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2500² = 33913 N = 33,91 kN

Відповідь

P_cr = 33,91 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 43,6 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 43,6 mm

Відповідь

d = 43,6 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 91,75, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials