Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 45 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 80 kNділянка 1: Ø30 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 0,5 m, мідь (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (сталь; зовнішній діаметр 40 mm, внутрішній діаметр 20 mm, довжина 1 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 400 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 400 N·md_o = 40 mmd_i = 20 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 10 kW при 1450 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 10 kWN = 1450 rpmd_o = 40 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 15 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 1 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mM₀ = 15 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mw = 12 kN/m від 2 до 5 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 50 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmM = 50 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = −60 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 150 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 40 mm сприймає згинальний момент 750 N·m разом з обертовим моментом 1000 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 40 mmM = 750 N·mT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 2 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δ_max балки.

P = 17 kNb = 2 mL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 120 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 120 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 8,502 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/113,1 = 397,9 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/117000 = 0,003401 = 3401 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,003401·2500 mm = 8,502 mm

Відповідь

δ = 8,502 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,266 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 113,2 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 113,2·500/100000 = 0,5659 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397,9·500/117000 = 1,7 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,266 mm

Відповідь

δ = 2,266 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,216 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Кут закручування

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1000/(80000·235619) = 0,02122 rad

φ = 0,02122·180/π = 1,216°

Відповідь

φ = 1,216°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 7,666 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 65857·20/171806 = 7,666 MPa

Відповідь

τ_max = 7,666 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 11,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/4 = 3,75 kN (вгору)

R_A = −R_B = −3,75 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить R_A і зосереджений момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −3,75·1 + 15 = 11,25 kN·m

Відповідь

M_x = 11,25 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 39,38 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·3·3,5

R_B = 126/6 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 21 = 15 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 15/12 = 3,25 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 15·3,25 − 12·1,25²/2 = 39,38 kN·m

Відповідь

M_max = 39,38 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 5,769 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

стінка: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·125 + 1440·60)/4240 = 102,9 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·10³/12 + 2800·(125 − 102,9)² = 1,388 × 10⁶ mm⁴

стінка: 12·120³/12 + 1440·(60 − 102,9)² = 4,381 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,388 × 10⁶ + 4,381 × 10⁶ = 5,769 × 10⁶ mm⁴ = 5,769 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 5,769 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 216 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

стінка: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·195 + 3600·90)/11400 = 161,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·30³/12 + 7800·(195 − 161,8)² = 9,161 × 10⁶ mm⁴

стінка: 20·180³/12 + 3600·(90 − 161,8)² = 2,83 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,161 × 10⁶ + 2,83 × 10⁷ = 3,746 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 161,8 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·161,8/3,746 × 10⁷ = 216 MPa

Відповідь

σ_низ = 216 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 96,62 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 130 MPa, R = √(20² + (−60)²) = 63,25 MPa

σ₁ = 193,2 MPa, σ₂ = 66,75 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(126,5, 193,2, 66,75)/2 = 96,62 MPa

Відповідь

τ_abs = 96,62 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 159,2 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119,4 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79,58 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 59,68 MPa

R = √(59,68² + 79,58²) = 99,47 MPa

σ₁ = C + R = 159,2 MPa

σ₂ = C − R = −39,79 MPa

Відповідь

σ₁ = 159,2 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 16,07 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 16,07 mm

Відповідь

δ_max = 16,07 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 15,08 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 17000 N, b = 2000 mm, L = 8000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 2000²)/3) = 4472 mm

Максимальний прогин

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 15,08 mm

Відповідь

δ_max = 15,08 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 24,22 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·5000 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/5000² = 24224 N = 24,22 kN

Відповідь

P_cr = 24,22 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 133,6 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·120000 = 300000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 133,6 mm

Відповідь

d = 133,6 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 179,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials