Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 70 ГПа). Обидва мають довжину 800 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 50 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 50 kNстрижень: Ø40 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з мідь (діаметр 40 мм, довжина 200 мм, E = 120 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 80 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) завдовжки 1 m передає обертовий момент 200 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 1,5°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 200 N·mL = 1 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) передає 10 kW при 750 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa, а кут закручування — 0,25° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть поперечну силу V_x безпосередньо ліворуч від опори B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5,5 mP₁ = 75 kN у 1,5 mP₂ = 35 kN у 5,5 mопори в x = 0 і x = 4 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 20 kN у 4 mw = 3 kN/m від 0 до 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 35 MPa на розтяг і 120 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент M_allow, який може витримати балка.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 60 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 25° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 60 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = 60 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,06631 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5027 = 6,032 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 50000·800/6,032 × 10⁸ = 0,06631 mm

Відповідь

δ = 0,06631 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 34,72 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 120000·1257/200 = 753982 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 80000·753982/1,382 × 10⁶ = 43636 N

Напруження

σ₂ = 43636/1257 = 34,72 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 34,72 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: d = 41,59 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·1000/(26000·0,02618) = 293825 mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 41,59 mm

Відповідь

d = 41,59 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 52,54 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·50)) = 23,49 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 52,54 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(23,49, 52,54) = 52,54 mm

Відповідь

d = 52,54 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −41,25 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 75·1,5 + 35·5,5

R_B = 305/4 = 76,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 76,25 = 33,75 kN

Переріз безпосередньо ліворуч від B, залишаємо ліву частину

V_x = R_A − P₁ = 33,75 − 75 = −41,25 kN

Відповідь

V_x = −41,25 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 58,63 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·4 + 3·8·4

R_B = 176/8 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 22 = 22 kN

Розріжте в x = 3,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 22·3,5 − 3·3,5·1,75 = 58,63 kN·m

Відповідь

M_x = 58,63 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 64,61 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

стінка: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·295 + 2800·140)/8800 = 245,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·30³/12 + 6000·(295 − 245,7)² = 1,504 × 10⁷ mm⁴

стінка: 10·280³/12 + 2800·(140 − 245,7)² = 4,957 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,504 × 10⁷ + 4,957 × 10⁷ = 6,461 × 10⁷ mm⁴ = 64,61 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 64,61 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 6,503 kN·m

Центр ваги

ȳ = (2400·210 + 3200·100)/5600 = 147,1 mm

верхній край: c = 220 − 147,1 = 72,86 mm

Момент інерції перерізу

I = 120·20³/12 + 2400·62,86² + 16·200³/12 + 3200·47,14² = 2,734 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Додатний момент: верх стиснутий, низ розтягнутий.

верхній край: M = 120·2,734 × 10⁷/72,86 = 45,03 kN·m

нижній край: M = 35·2,734 × 10⁷/147,1 = 6,503 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 6,503 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 6,503 kN·m

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 59,45 MPa

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 55 − 5·0,6428 − (−10)·0,766 = 59,45 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 50,55 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 110 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 59,45 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 128,8 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 85 MPa, R = 55,9 MPa

σ₁ = 140,9 MPa, σ₂ = 29,1 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(140,9² − 140,9·29,1 + 29,1²) = 128,8 MPa

Відповідь

σ_vM = 128,8 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 41,74 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 6·4000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 41,74 mm

Відповідь

δ = 41,74 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 3,662 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2500⁴/(384·200000·6,944) = 3,662 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3,662 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 3,662 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 22,49 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/2000² = 22489 N = 22,49 kN

Відповідь

P_cr = 22,49 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 4,318 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Відповідь

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials