Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 75 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 20 kNділянка 1: Ø30 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) передає 15 kW при 300 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa, а кут закручування — 0,25° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 15 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 8 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 8 kN/m від 0 до 10 mx = 8 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 45 kN у 3 mw = 2 kN/m від 0 до 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 168 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 150 mm і товщиною 18 mm, повну висоту 440 mm і стінку товщиною 14 mm. Він сприймає згинальний момент 120 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σ_j у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 150 mmH = 440 mmt_f = 18 mmt_w = 14 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 100 MPa і σᵧ = 10 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 145 MPa?

σ_x = 100 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 145 MPa

τ_xy = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 500 mm і товщиною стінки 5 mm містить газ під надлишковим тиском 0,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 55° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 500 mmt = 5 mmp = 0,5 MPaα = 55°

σ_n = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 30 kNw = 5 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 35 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 35 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 9,325 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 75·1000/201,1 = 373 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 373/100000 = 0,00373 = 3730 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,00373·2500 mm = 9,325 mm

Відповідь

δ = 9,325 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,051 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 28,29 MPa

σ₂ = 176,8 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 28,29·2000/200000 = 0,2829 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 176,8·1000/100000 = 1,768 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,051 mm

Відповідь

δ = 2,051 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 22,52 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(80000·79522) = 0,393 rad

φ = 0,393·180/π = 22,52°

Відповідь

φ = 22,52°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 73,12 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

d_τ = ∛(16·477465/(π·60)) = 34,35 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·477465/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 73,12 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(34,35, 73,12) = 73,12 mm

Відповідь

d = 73,12 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −24 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Розріжте в x = 8 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 40 − 8·8 = −24 kN

Відповідь

V_x = −24 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 22 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·3 + 2·5·2,5

R_B = 160/5 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 32 = 23 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 23·1 − 2·1·0,5 = 22 kN·m

Відповідь

M_x = 22 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·120 − 1963·168)/(24000 − 1963) = 115,7 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·240³/12 + 24000·4,277² = 115,6 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·52,28² = 5,673 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 110 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_j = 76,35 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 440 − 2·18 = 404 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·440³ − 136·404³)/12

I_x = 3,175 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 220 − 18 = 202 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·202/3,175 × 10⁸ = 76,35 MPa

Відповідь

σ_j = 76,35 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 77,94 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (100 + 10)/2 = 55 MPa

R = σ₁ − C = 145 − 55 = 90 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 45²) = 77,94 MPa

Відповідь

τ_xy = 77,94 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 16,61 MPa

Напруження в стінці

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 0,5·250/5 = 25 MPa

σ_a = pr/(2t) = 12,5 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 12,5·sin²55° + 25·cos²55° = 16,61 MPa

Відповідь

σ_n = 16,61 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 9,524 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 9,524 mm

Відповідь

δ_max = 9,524 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 31,08 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 30000 N, w = 5 N/mm, L = 2500 mm, EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·2500³/(48·3,96 × 10¹¹) = 24,66 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 6,422 mm

Додайте

δ_max = 24,66 + 6,422 = 31,08 mm

Відповідь

δ_max = 31,08 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 8,422 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/2500² = 8422 N = 8,422 kN

Відповідь

P_cr = 8,422 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 53,02 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 53,02 mm

Відповідь

d = 53,02 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 132, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials