Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 16 mmЛатунь3 mP = 100 kN

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (латунь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 40 mmМідь2 mØ 12 mmАлюміній2 mP = 85 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.

P = 85 kNділянка 1: Ø40 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.Кручення валівСередня
d = 20 mmT = 20 N·m200 mmφ = 0,56°

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 20 mm закручують моментом 20 N·m. Два кінці розрахункової довжини 200 mm повертаються один відносно одного на 0,56° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 20 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 0,56°
G = GPa
4.Кручення валівСкладна
d = 30 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 0,5 mb = 2,5 m

Суцільний вал (латунь) діаметром 30 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 0,5 m від A і 2,5 m від B, прикладено обертовий момент 2000 N·m. Знайдіть реактивний момент TA у стіні A.

d = 30 mmT0 = 2000 N·ma = 0,5 mb = 2,5 m
TA = N·m
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
12 kN/m35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

35 kN @ 3 m12 kN/m, 2–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 6 kN/mP = 50 kNABпереріз3 m2 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 50 kN у 3 mw = 6 kN/m від 0 до 5 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
1401518014xрозміри в mm

Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

bf = 140 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
180240142602414xрозміри в mm

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 180 × 14 mm, стінку висотою 260 mm і товщиною 14 mm та нижню полицю 240 × 24 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції Ix відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 180 × 14 mmстінка: 14 × 260 mmнижня полиця: 240 × 24 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 50σy​ = −60τxy​ = 40MPa

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 50 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = 40 MPa, σz = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τabs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σx = 50 MPaσy = −60 MPaτxy = 40 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σy​ = −70τxy​ = 30MPa

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 0 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σvM.

σx = 0 MPaσy = −70 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 2 kN/mABθ5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θA перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Прогин балкиСкладна
w = 4 kN/mABδ6 m

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 100 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/250. Знайдіть найменшу висоту hreq перерізу.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 100 mm
hreq = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 5 m25 × 40 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 1 md = 20 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 4974 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 100·1000/201,1 = 497,4 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 497,4/100000 = 0,004974 = 4974 µε

Відповідь

ε = 4974 µε
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σmax = 751,6 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 67,64 MPa
σ2 = 751,6 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σmax = 751,6 MPa

Відповідь

σmax = 751,6 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: G = 26,05 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 0,56·π/180 = 0,009774 rad

Модуль зсуву

T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·200/(15708·0,009774) = 26054 MPa
G = 26,05 GPa

Відповідь

G = 26,05 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: TA = 1667 N·m

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише TA + TB = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·2,5/3 = 1667 N·m
TB = 2000·0,5/3 = 333,3 N·m

Відповідь

TA = 1667 N·m
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 32,5 kN, R2 = 38,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 32,5, MC = 65, MD = 91,5 kN·m, ME = 71, MF = 38,5, MG = 0

Відповідь

Позначка D: MD = 91,5 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 78 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 50·3 + 6·5·2,5
RB = 225/5 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 45 = 35 kN
w = 6 kN/mP = 50 kNABRA​ = 35RB​ = 45переріз3 m2 m

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 35·3 − 6·3·1,5 = 78 kN·m

Відповідь

Mx = 78 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 17,73 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 140·15 = 2100 mm², yf = 180 + 15/2 = 187,5 mm
стінка: Aw = 14·180 = 2520 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2100·187,5 + 2520·90)/4620 = 134,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 140·15³/12 + 2100·(187,5 − 134,3)² = 5,979 × 10⁶ mm⁴
стінка: 14·180³/12 + 2520·(90 − 134,3)² = 1,175 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,979 × 10⁶ + 1,175 × 10⁷ = 1,773 × 10⁷ mm⁴ = 17,73 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 17,73 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 165,5 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 2520 mm², y = 291 mm
стінка: A = 3640 mm², y = 154 mm
нижня полиця: A = 5760 mm², y = 12 mm

Центр ваги

ȳ = (2520·291 + 3640·154 + 5760·12)/11920 = 114,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 180·14³/12 + 2520·176,7² = 7,868 × 10⁷ mm⁴
стінка: 14·260³/12 + 3640·39,65² = 2,623 × 10⁷ mm⁴
нижня полиця: 240·24³/12 + 5760·102,3² = 6,061 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7,868 × 10⁷ + 2,623 × 10⁷ + 6,061 × 10⁷
Ix = 1,655 × 10⁸ mm⁴ = 165,5 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 165,5 × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τabs = 68,01 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σmax − σmin)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

στxyCσ1​σ2​

Головні напруження в площині

C = −5 MPa, R = √(55² + 40²) = 68,01 MPa
σ1 = 63,01 MPa, σ2 = −73,01 MPa, σz = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(136, 63,01, 73,01)/2 = 68,01 MPa

Відповідь

τabs = 68,01 MPa

Тут σ₁ і σ₂ мають протилежні знаки, тож максимум у площині R є й абсолютним максимумом.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σvM = 87,18 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σY; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Головні напруження

C = −35 MPa, R = 46,1 MPa
σ1 = 11,1 MPa, σ2 = −81,1 MPa, σ3 = 0

Мізес

σvM = √(11,1² − 11,1·(−81,1) + (−81,1)²) = 87,18 MPa

Відповідь

σvM = 87,18 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: θA = 0,01127 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Кут повороту на кінці

θA = wL³/(24EI) = 2·5000³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,01127 rad

Відповідь

θA = 0,01127 rad

Це 0,6459°.

12.Прогин балки

Відповідь: hreq = 313,1 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δallow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

Потрібний момент інерції

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·24) = 2,557 × 10⁸ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = Ireq → h = (12·2,557 × 10⁸/100)1/3 = 313,1 mm

Відповідь

hreq = 313,1 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 2,937 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/3500² = 2937 N = 2,937 kN

Відповідь

Pcr = 2,937 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 12,34 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/5 = 400

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Відповідь

σcr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials