Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 95 kNd = 30 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 115 kNділянка 1: Ø30 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 50 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 15 kW при 750 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 15 kWN = 750 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 4 kN/m від 0 до 5 mx = 1 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

25 kN @ 0 m15 kN @ 6 m50 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 40 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmM = 40 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 160 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 800 mm і товщиною стінки 5 mm містить газ під надлишковим тиском 1,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 30° до осі циліндра. Знайдіть величину дотичного напруження |τ_n|, що діє вздовж зварного шва.

D = 800 mmt = 5 mmp = 1,5 MPaα = 30°

|τ_n| = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 24 kNa = 2 mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 150 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 4 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 150 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 50 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 50 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 5,76 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/706,9 = 134,4 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 134,4/70000 = 0,00192 = 1920 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,00192·3000 mm = 5,76 mm

Відповідь

δ = 5,76 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 366,1 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 162,7 MPa

σ₂ = 366,1 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 366,1 MPa

Відповідь

σ_max = 366,1 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,437 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(39000·613592) = 0,02507 rad

φ = 0,02507·180/π = 1,437°

Відповідь

φ = 1,437°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 25,74 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·20/148384 = 25,74 MPa

Відповідь

τ_max = 25,74 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 6 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·5·2,5

R_B = 50/5 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 10 − 4·1 = 6 kN

Відповідь

V_x = 6 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: B (x = 1 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 40 kN, R₂ = 50 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −25 kN·m, M_C = −10, M_D = 5, M_E = 20, M_F = −15, M_G = 0

Відповідь

Позначка B: M_B = −25 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 7,458 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112,5 mm

стінка: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·112,5 + 1800·50)/8800 = 99,72 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·25³/12 + 7000·(112,5 − 99,72)² = 1,509 × 10⁶ mm⁴

стінка: 18·100³/12 + 1800·(50 − 99,72)² = 5,949 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,509 × 10⁶ + 5,949 × 10⁶ = 7,458 × 10⁶ mm⁴ = 7,458 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 7,458 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 181,5 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

стінка: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·110 + 1200·50)/6400 = 98,75 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·20³/12 + 5200·(110 − 98,75)² = 831458 mm⁴

стінка: 12·100³/12 + 1200·(50 − 98,75)² = 3,852 × 10⁶ mm⁴

I_x = 831458 + 3,852 × 10⁶ = 4,683 × 10⁶ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 120 − 98,75 = 21,25 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·21,25/4,683 × 10⁶ = 181,5 MPa

Відповідь

σ_верх = 181,5 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −26,57 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 160 − 70) = −53,13°

Кут на елементі

θ_p = −26,57°

Відповідь

θ_p = −26,57°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: |τ_n| = 25,98 MPa

Напруження в стінці

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,5·400/5 = 120 MPa

σ_a = pr/(2t) = 60 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

|τ_n| = (120 − 60)·sin 30°·cos 30° = 25,98 MPa

Відповідь

|τ_n| = 25,98 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 2,319 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 24000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 24000·2000²·1000²/(3·4,6 × 10¹²·3000) = 2,319 mm

Відповідь

δ_P = 2,319 mm

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 180,1 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3500⁴/(384·11000·9,722) = 7,308 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·7,308 × 10⁷/150)^1/3 = 180,1 mm

Відповідь

h_req = 180,1 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 17,77 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/5000² = 17765 N = 17,77 kN

Відповідь

P_cr = 17,77 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 49,88 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 49,88 mm

Відповідь

d = 49,88 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 160,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials