Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (сталь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 12 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 70 kNділянка 1: Ø30 mm, 0,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) завдовжки 1,5 m передає обертовий момент 250 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 3°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 250 N·mL = 1,5 mG = 39 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 100 kW при 1500 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 100 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

10 kN @ 6 m4 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 55 kN у 5 mw = 6 kN/m від 0 до 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 220 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 70 mm. Основа й полиці мають товщину 8 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b = 220 mmh = 70 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 200 mm і товщиною 20 mm, повну висоту 240 mm і стінку товщиною 10 mm. Він сприймає згинальний момент 100 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σ_j у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 200 mmH = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −60 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 140 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −50 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 35° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 1989 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/113,1 = 397,9 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/200000 = 0,001989 = 1989 µε

Відповідь

ε = 1989 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 348,2 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 99,03 MPa

σ₂ = 348,2 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 348,2 MPa

Відповідь

σ_max = 348,2 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: d = 36,98 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·1500/(39000·0,05236) = 183640 mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 36,98 mm

Відповідь

d = 36,98 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 3,725 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Полярний момент інерції

J = π(100⁴ − 60⁴)/32 = 8,545 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·50/8,545 × 10⁶ = 3,725 MPa

Відповідь

τ_max = 3,725 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 29 kN, R₂ = 29 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 84, M_D = 102 kN·m, M_E = 84, M_F = 50, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 102 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 212,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·5 + 6·10·5

R_B = 575/10 = 57,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 57,5 = 57,5 kN

Розріжте в x = 5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 57,5·5 − 6·5·2,5 = 212,5 kN·m

Відповідь

M_x = 212,5 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 1,104 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 220·8 = 1760 mm², y₁ = 4 mm

дві полиці: A₂ = 2·8·62 = 992 mm², y₂ = 8 + 62/2 = 39 mm

Центр ваги

ȳ = (1760·4 + 992·39)/2752 = 16,62 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

основа: 220·8³/12 + 1760·(4 − 16,62)² = 289527 mm⁴

дві полиці: 2·8·62³/12 + 992·(39 − 16,62)² = 814793 mm⁴

I_x = 289527 + 814793

I_x = 1,104 × 10⁶ mm⁴ = 1,104 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 1,104 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_j = 96,4 MPa

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 240 − 2·20 = 200 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·240³ − 190·200³)/12

I_x = 1,037 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 120 − 20 = 100 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·100/1,037 × 10⁸ = 96,4 MPa

Відповідь

σ_j = 96,4 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 83,2 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 85 MPa, R = √(55² + (−60)²) = 81,39 MPa

σ₁ = 166,4 MPa, σ₂ = 3,606 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(162,8, 166,4, 3,606)/2 = 83,2 MPa

Відповідь

τ_abs = 83,2 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 17,1 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −0·0,9397 + 50·0,342 = 17,1 MPa

Відповідь

τ_θ = 17,1 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 4,746 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 4,746 mm

Відповідь

δ = 4,746 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 13,64 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·2000⁴/(384·11000·5,556) = 1,364 × 10⁷ mm⁴

I_req = 13,64 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 13,64 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 57,12 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1500² = 57116 N = 57,12 kN

Відповідь

P_cr = 57,12 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 8,567 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12,5 = 480

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Відповідь

σ_cr = 8,567 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials