Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 70 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 300 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 300 kNстрижень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 25 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 40 мм, довжина 200 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 100 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 100 kW при 750 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 100 kWN = 750 rpmd_o = 80 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 60 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 2,5 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mM₀ = 60 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 2,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент M_max між опорами.

L = 10,5 mw = 3 kN/m від 0 до 10,5 mопори в x = 0 і x = 8 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 100 × 24 mm, стінку висотою 200 mm і товщиною 8 mm та нижню полицю 260 × 20 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 100 × 24 mmстінка: 8 × 200 mmнижня полиця: 260 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −20 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 25° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = −20 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 90 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 30° за годинниковою стрілкою від осі x.

σ_x = 90 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 20 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 65 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 65 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,3157 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·5890 = 4,752 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 300000·500/4,752 × 10⁸ = 0,3157 mm

Відповідь

δ = 0,3157 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 61,97 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 100000·691150/887500 = 77876 N

Напруження

σ₂ = 77876/1257 = 61,97 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 61,97 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,4789 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(39000·613592) = 0,008358 rad

φ = 0,008358·180/π = 0,4789°

Відповідь

φ = 0,4789°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 14,55 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Полярний момент інерції

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3,5 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,273 × 10⁶·40/3,5 × 10⁶ = 14,55 MPa

Відповідь

τ_max = 14,55 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = −25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/6 = 10 kN (вгору)

R_A = −R_B = −10 kN (вниз)

Переріз безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту

Ліва частина містить лише R_A.

M_x = R_A·a = −10·2,5 = −25 kN·m

Відповідь

M_x = −25 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 19,54 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·10,5 = 31,5 kN, прикладена в x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·10,5·5,25

R_B = 165,4/8 = 20,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31,5 − 20,67 = 10,83 kN

Нульова поперечна сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 10,83/3 = 3,609 m

Максимальний додатний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 10,83²/(2·3) = 19,54 kN·m

Відповідь

M_max = 19,54 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 28,05 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

стінка: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·227,5 + 2640·110)/5040 = 166 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·15³/12 + 2400·(227,5 − 166)² = 9,136 × 10⁶ mm⁴

стінка: 12·220³/12 + 2640·(110 − 166)² = 1,891 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,136 × 10⁶ + 1,891 × 10⁷ = 2,805 × 10⁷ mm⁴ = 28,05 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 28,05 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 88,66 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 2400 mm², y = 232 mm

стінка: A = 1600 mm², y = 120 mm

нижня полиця: A = 5200 mm², y = 10 mm

Центр ваги

ȳ = (2400·232 + 1600·120 + 5200·10)/9200 = 87,04 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 100·24³/12 + 2400·145² = 5,054 × 10⁷ mm⁴

стінка: 8·200³/12 + 1600·32,96² = 7,071 × 10⁶ mm⁴

нижня полиця: 260·20³/12 + 5200·77,04² = 3,104 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,054 × 10⁷ + 7,071 × 10⁶ + 3,104 × 10⁷

I_x = 8,866 × 10⁷ mm⁴ = 88,66 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 88,66 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −76,39 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = −45 − 25·0,6428 − 20·0,766 = −76,39 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = −13,61 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −90 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −76,39 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 15,36 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 10 + 80·0,5 + 40·−0,866 = 15,36 MPa

Відповідь

σ_θ = 15,36 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 46,88 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·6000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 46,88 mm

Відповідь

δ_max = 46,88 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,293 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 20000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 20000·1500³/(48·1,7 × 10¹²) = 0,8272 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 0,4653 mm

Додайте

δ_max = 0,8272 + 0,4653 = 1,293 mm

Відповідь

δ_max = 1,293 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 27,47 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·4000 = 4000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4000² = 27470 N = 27,47 kN

Відповідь

P_cr = 27,47 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 52,15 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 52,15 mm

Відповідь

d = 52,15 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 161,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials