Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,25 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 25 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з латунь (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 100 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 30 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 5 kW при 3000 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 5 kWN = 3000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 3 m5 kN/m, 2–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть згинальний момент M_B на опорі B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 9 mw = 10 kN/m від 0 до 9 mопори в x = 0 і x = 8 m

M_B = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 120 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 90 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 150 mmвиріз: 40 × 20 mmцентр отвору: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 60 MPa, σᵧ = −10 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 30 mm сприймає згинальний момент 300 N·m разом з обертовим моментом 100 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 30 mmM = 300 N·mT = 100 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 50 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/300. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 1,5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 50 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 5 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 5 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 41,58 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1257) = 3,183 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,25/6,013 × 10⁻⁶ = 41580 N = 41,58 kN

Відповідь

P = 41,58 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 13,4 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 100000·1257/500 = 251327 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 30000·251327/447677 = 16842 N

Напруження

σ₂ = 16842/1257 = 13,4 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 13,4 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 2,771 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(26000·79522) = 0,04837 rad

φ = 0,04837·180/π = 2,771°

Відповідь

φ = 2,771°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 11,05 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 5000/314,2 = 15,92 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·15915/(π·60)) = 11,05 mm

Відповідь

d = 11,05 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 15 kN, R₂ = 15 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 15, M_C = 30, M_D = 42,5 kN·m, M_E = 30, M_F = 15, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 42,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_B = −5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·9 = 90 kN, прикладена в x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·9·4,5

R_B = 405/8 = 50,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 50,63 = 39,38 kN

Переріз у B, залишаємо консоль

Навантаження на консолі, w·a, прикладене на відстані a/2 від B і вигинає балку над опорою опуклістю догори.

M_B = −w·a²/2 = −10·1²/2 = −5 kN·m

Відповідь

M_B = −5 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 31,46 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (18000·75 − 1963·105)/(18000 − 1963) = 71,33 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·150³/12 + 18000·3,673² = 33,99 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·33,67² = 2,533 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 31,46 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 31,46 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 56,04 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (30000·75 − 800·90)/(30000 − 800) = 74,59 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·150³/12 + 30000·0,411² = 56,26 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·20³/12 + 800·15,41² = 0,2167 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 56,04 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 56,04 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 61,03 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((60 − −10)/2)² + −50²) = 61,03 MPa

Відповідь

τ_max = 61,03 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 116,2 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·30³) = 113,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 56,59 MPa

R = √(56,59² + 18,86²) = 59,65 MPa

σ₁ = C + R = 116,2 MPa

σ₂ = C − R = −3,061 MPa

Відповідь

σ₁ = 116,2 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 19,18 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 19,18 mm

Відповідь

δ = 19,18 mm

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 151,1 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·3000⁴/(384·11000·10) = 1,438 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,438 × 10⁷/50)^1/3 = 151,1 mm

Відповідь

h_req = 151,1 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,412 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2,412 kN

Відповідь

P_cr = 2,412 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 36,47 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 36,47 mm

Відповідь

d = 36,47 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 219,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials