Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 12 mmСталь3 mP = 10 kN

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 10 kNd = 12 mmL = 3 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
P = ?Ø25100 GPaØ100/70600 mm

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 200 МПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 100 ГПа, допустиме напруження 70 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження Pmax.

стрижень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPaтруба: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.Кручення валівСередня
T = 1000 N·md = 30 mmL = 0,8 mφ = ?

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 39 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
Td = ?

Суцільний вал має передавати 50 kW при 300 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 50 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 25 kNP2​ = 20 kNAB1 m6 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 8 mP1 = 25 kN у 1 mP2 = 20 kN у 7 m
Mmax = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 3 kN/mP = 45 kNABпереріз5 m3 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 45 kN у 5 mw = 3 kN/m від 0 до 8 mx = 5 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
200 mm150 mm60 mmØ50xIx​ = ?

Пластина 200 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 60 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 150 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
2205001212xM = 100 kN·mрозміри в mm

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 220 mm і товщиною 12 mm, повну висоту 500 mm і стінку товщиною 12 mm. Він сприймає згинальний момент 100 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину максимального нормального напруження при згині σmax у перерізі.

B = 220 mmH = 500 mmtf = 12 mmtw = 12 mmM = 100 kN·m
σmax = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = −60σy​ = −70τxy​ = 10MPa

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = 10 MPa, σz = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τabs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σx = −60 MPaσy = −70 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
40°D = 800 mm, t = 10 mm, p = 1,5 MPap

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 800 mm і товщиною стінки 10 mm містить газ під надлишковим тиском 1,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 40° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σn, що діє поперек зварного шва.

D = 800 mmt = 10 mmp = 1,5 MPaα = 40°
σn = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 5 kN/mδL = 8 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Прогин балкиСкладна
P = 5 kNP = 5 kNABδ1,333 m1,334 m1,333 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома однаковими зосередженими силами P у третинах прольоту (L/3 від кожної опори). За принципом накладання знайдіть прогин δmax посередині прольоту.

P = 5 kNL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 4 m50 × 60 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
P = 140 kNL = 2 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 140 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 140 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,326 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 10·1000/113,1 = 88,42 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 88,42/200000 = 0,0004421 = 442,1 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0004421·3000 mm = 1,326 mm

Відповідь

δ = 1,326 mm
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: Pmax = 349,1 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·4006 = 4,987 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,001, 0,0007) = 0,0007 (латунь)

Найбільше навантаження

Pmax = 0,0007·4,987 × 10⁸ = 349109 N = 349,1 kN

Відповідь

Pmax = 349,1 kN
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 14,78 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(39000·79522) = 0,258 rad
φ = 0,258·180/π = 14,78°

Відповідь

φ = 14,78°
4.Кручення валів

Відповідь: d = 47,63 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·75)) = 47,63 mm

Відповідь

d = 47,63 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 24,38 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣMA = 0: RB·8 = 25·1 + 20·7
RB = 165/8 = 20,63 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 20,63 = 24,38 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P1: M = RA·1 = 24,38·1 = 24,38 kN·m
під P2: M = RB·1 = 20,63·1 = 20,63 kN·m

Найбільше значення

Mmax = 24,38 kN·m (під P1)

Відповідь

Mmax = 24,38 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 106,9 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 45·5 + 3·8·4
RB = 321/8 = 40,13 kN
ΣFy = 0: RA = 69 − 40,13 = 28,88 kN
w = 3 kN/mP = 45 kNABRA​ = 28,88RB​ = 40,13переріз5 m3 m

Розріжте в x = 5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 28,88·5 − 3·5·2,5 = 106,9 kN·m

Відповідь

Mx = 106,9 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 55,47 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·75 − 1963·60)/(30000 − 1963) = 76,05 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·150³/12 + 30000·−1,051² = 56,28 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−16,05² = 0,8126 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 55,47 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 55,47 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σmax = 59,2 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.

hw = 500 − 2·12 = 476 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (220·500³ − 208·476³)/12
Ix = 4,223 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 250 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁸·250/4,223 × 10⁸ = 59,2 MPa

Відповідь

σmax = 59,2 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τabs = 38,09 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σmax − σmin)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

σxyCσ1​σ2​

Головні напруження в площині

C = −65 MPa, R = √(5² + 10²) = 11,18 MPa
σ1 = −53,82 MPa, σ2 = −76,18 MPa, σz = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(22,36, 53,82, 76,18)/2 = 38,09 MPa

Відповідь

τabs = 38,09 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σn = 47,6 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Тонкостінний циліндр: колове напруження σh = pr/t і осьове напруження σa = pr/(2t); це головні напруження в стінці.

Напруження в стінці

r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 1,5·400/10 = 60 MPa
σa = pr/(2t) = 30 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σa), а y по колу (σh). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σn = 30·sin²40° + 60·cos²40° = 47,6 MPa

Відповідь

σn = 47,6 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δmax = 23,81 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 23,81 mm

Відповідь

δmax = 23,81 mm
12.Прогин балки

Відповідь: δmax = 18,11 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 5000 N, L = 4000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Одна сила в точці L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm
δ₁ = 9,057 mm

Додайте обидві сили

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 18,11 mm

Відповідь

δmax = 18,11 mm
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 107,9 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2000² = 107949 N = 107,9 kN

Відповідь

Pcr = 107,9 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: d = 113,4 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 113,4 mm

Відповідь

d = 113,4 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 141,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials