Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 400 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 80 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 15 kNділянка 1: Ø30 mm, 0,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 1000 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,6 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 30 mm закріплений в A. У B, на відстані 1,5 m від A, діє обертовий момент 750 N·m, а на вільному кінці C, ще на 3 m далі, діє момент 200 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 30 mmT_B = 750 N·mT_C = 200 N·mAB = 1,5 mBC = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 4,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 3 kN/m від 0 до 10 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 15 kN у 5 mw = 10 kN/m від 0 до 8 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 210 mm і товщиною 14 mm, повну висоту 280 mm і стінку товщиною 6 mm. Знайдіть його пружний момент опору S_x при згині відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 210 mmH = 280 mmt_f = 14 mmt_w = 6 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 10 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmM = 10 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 40 MPa і τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 50 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 20 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 20° за годинниковою стрілкою від осі x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 24 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту M_A у защемленні.

L = 3 mP = 15 kN у 1,5 m

M_A = kN·m

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 110 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 110 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,04298 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5027 = 7,446 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 80000·400/7,446 × 10⁸ = 0,04298 mm

Відповідь

δ = 0,04298 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,8337 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 21,22 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 21,22·500/70000 = 0,1516 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47,75·1000/70000 = 0,6821 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,8337 mm

Відповідь

δ = 0,8337 mm

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 41,82 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·80·0,8704)) = 41,82 mm

d_i = 0,6·41,82 = 25,09 mm

Відповідь

d_o = 41,82 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 39,93 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 18,24 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 750 = 950 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 950000·1500/(80000·79522) = 0,224 rad

φ_BC = 200000·3000/(80000·79522) = 0,09431 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = 0,224 + 0,09431 = 0,3183 rad → |φ_C| = 18,24°

Відповідь

φ_C = 18,24°

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 37,13 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Розріжте в x = 4,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 15·4,5 − 3·4,5·2,25 = 37,13 kN·m

Відповідь

M_x = 37,13 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 57,19 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·5 + 10·8·4

R_B = 395/8 = 49,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 49,38 = 45,63 kN

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 45,63·1,5 − 10·1,5·0,75 = 57,19 kN·m

Відповідь

M_x = 57,19 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: S_x = 800,8 × 10³ mm³

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 280 − 2·14 = 252 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·280³ − 204·252³)/12

I_x = 1,121 × 10⁸ mm⁴

Момент опору перерізу

c = H/2 = 140 mm

S_x = I/c = 1,121 × 10⁸/140

S_x = 800778 mm³ = 800,8 × 10³ mm³

Відповідь

S_x = 800,8 × 10³ mm³

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 18,15 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

стінка: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·207,5 + 4000·100)/7600 = 150,9 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 240·15³/12 + 3600·(207,5 − 150,9)² = 1,159 × 10⁷ mm⁴

стінка: 20·200³/12 + 4000·(100 − 150,9)² = 2,371 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,159 × 10⁷ + 2,371 × 10⁷ = 3,53 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 215 − 150,9 = 64,08 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·64,08/3,53 × 10⁷ = 18,15 MPa

Відповідь

σ_верх = 18,15 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 37,71 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 45 MPa, R = √(5² + 30²) = 30,41 MPa

σ₁ = 75,41 MPa, σ₂ = 14,59 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(60,83, 75,41, 14,59)/2 = 37,71 MPa

Відповідь

τ_abs = 37,71 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 62,67 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 65 + −45·0,766 + −50·−0,6428 = 62,67 MPa

Відповідь

σ_θ = 62,67 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 28 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 24000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(3EI) = 24000·4000³/(3·3,2 × 10¹³) = 16 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·4000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 12 mm

Додайте

δ = 16 + 12 = 28 mm

Відповідь

δ = 28 mm

12.Прогин балки

Відповідь: M_A = 8,438 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·15/16 = 4,688 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 22,5 − 14,06 = 8,438 kN·m

Відповідь

M_A = 8,438 kN·m

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 220,3 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/1400² = 220304 N = 220,3 kN

Відповідь

P_cr = 220,3 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 135,8 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·110000 = 330000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 135,8 mm

Відповідь

d = 135,8 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 294,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials