Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (сталь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 15 kNділянка 1: Ø40 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 50 kW при 1800 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть згинальний момент M_x під силою P₁. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP₁ = 30 kN у 1 mP₂ = 70 kN у 6 mопори в x = 0 і x = 5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 20 kN у 3 mw = 6 kN/m від 0 до 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Кругла труба має зовнішній діаметр D = 210 mm і внутрішній діаметр d = 182 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

D = 210 mmd = 182 mm

r = mm

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 30 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 40 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −40 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 30° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = −40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена двома однаковими зосередженими силами P у третинах прольоту (L/3 від кожної опори). За принципом накладання знайдіть прогин δ_max посередині прольоту.

P = 11 kNL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 130 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 130 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 601,3 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 120,3/200000 = 0,0006013 = 601,3 µε

Відповідь

ε = 601,3 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 47,75 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 47,75 MPa

Відповідь

σ_max = 47,75 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,461 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(39000·251327) = 0,02551 rad

φ = 0,02551·180/π = 1,461°

Відповідь

φ = 1,461°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 35,75 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 265258·20/148384 = 35,75 MPa

Відповідь

τ_max = 35,75 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 10 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·1 + 70·6

R_B = 450/5 = 90 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 90 = 10 kN

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину

M_x = R_A·1 = 10·1 = 10 kN·m

Відповідь

M_x = 10 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 33,5 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·3 + 6·8·4

R_B = 252/8 = 31,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 31,5 = 36,5 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 36,5·1 − 6·1·0,5 = 33,5 kN·m

Відповідь

M_x = 33,5 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 69,47 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

A = π(D² − d²)/4 = 8621 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4,161 × 10⁷ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(4,161 × 10⁷/8621) = 69,47 mm

Відповідь

r = 69,47 mm

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 119,7 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

стінка: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·315 + 2400·150)/11400 = 280,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·30³/12 + 9000·(315 − 280,3)² = 1,153 × 10⁷ mm⁴

стінка: 8·300³/12 + 2400·(150 − 280,3)² = 5,872 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,153 × 10⁷ + 5,872 × 10⁷ = 7,026 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 280,3 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·280,3/7,026 × 10⁷ = 119,7 MPa

Відповідь

σ_низ = 119,7 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = −26,57 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 30/50 = 0,6, sin 2θ_s = −40/50 = −0,8

2θ_s = atan2(−40, 30) = −53,13°

Кут на елементі

θ_s = −26,57°

перевірка: θ_s − θ_p = −26,57 − 18,43 = −45°

Відповідь

θ_s = −26,57°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 3,481 MPa

Формула перетворення

σ_θ = −5 + −35·0,5 + 30·0,866 = 3,481 MPa

Відповідь

σ_θ = 3,481 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 2,713 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 2,713 mm

Відповідь

δ = 2,713 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 50,1 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 11000 N, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Одна сила в точці L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 25,05 mm

Додайте обидві сили

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 50,1 mm

Відповідь

δ_max = 50,1 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 3,052 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3,052 kN

Відповідь

P_cr = 3,052 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 83,2 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·130000 = 260000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 83,2 mm

Відповідь

d = 83,2 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 120,2, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Кручення валів

Метод

Поперечна сила і згинальний момент

Метод

Центр ваги й момент інерції

Коло Мора й перетворення напружень

Метод

Прогин балки

Стійкість колон

2Задачі для практики

3Розчини

Напруження

Деформація (закон Гука)

Відповідь

Однакова сила в обох ділянках

Найбільше напруження

Відповідь

Полярний момент інерції

Кут закручування

Відповідь

Крутний момент

Полярний момент інерції

Найбільше дотичне напруження

Відповідь

Опорні реакції

Переріз під P1, залишаємо ліву частину

Відповідь

Опорні реакції

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Відповідь

Площа нетто і момент інерції нетто

Радіус інерції

Відповідь

Поділіть на два прямокутники

Центр ваги

Теорема про паралельне перенесення осей

Напруження згину

Відповідь

Кут на колі

Кут на елементі

Відповідь

Формула перетворення

Відповідь

Узгоджені одиниці

Прогин

Відповідь

Узгоджені одиниці

Одна сила в точці L/3

Додайте обидві сили

Відповідь

Найменший момент інерції

Розрахункова довжина

Критична сила

Відповідь

Потрібна критична сила

Виразіть діаметр

Відповідь

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину