Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 25 mmЛатунь0,5 mP = 80 kN

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (латунь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
P = ?Ø30110 GPaØ120/60500 mm

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 160 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 50 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження Pmax.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Кручення валівСередня
T = 750 N·md = 40 mmL = 0,8 mφ = ?

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 750 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 39 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
do​ = ?30 kW, 500 rpm

Порожнистий вал має передавати 30 kW при 500 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,75 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр do.

P = 30 kWN = 500 rpmdi/do = 0,75τallow = 80 MPa
do = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
M0​ = 40 kN·mAB1,5 m2,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 40 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 1,5 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mM0 = 40 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 1,5 m
Mx = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 6 kN/mP = 50 kNABпереріз2,5 m0,5 m1 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 50 kN у 2,5 mw = 6 kN/m від 0 до 4 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
3002014010xрозміри в mm

Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
100 mm240 mm96 mm50 × 20xIx​ = ?

Пластина 100 мм × 240 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 96 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 240 mmвиріз: 50 × 20 mmцентр отвору: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 70σy​ = 10MPaτxy​ = ?

У точці σₓ = 70 MPa і σᵧ = 10 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τxy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 95 MPa?

σx = 70 MPaσy = 10 MPaσ1 = 95 MPa
τxy = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 130σy​ = 30τxy​ = 20MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 20° проти годинникової стрілки від осі x.

σx = 130 MPaσy = 30 MPaτxy = 20 MPaθ = 20°
σθ = MPa
11.Прогин балкиСередня
P = 11 kNABδ2,5 m1,5 m

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2,5 m від A. Знайдіть прогин δP під силою.

P = 11 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 10 kN/mAB5 m

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть реакцію RB додаткової опори.

L = 5 mw = 10 kN/m
RB = kN
13.Стійкість колонСередня
PL = 3 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 1,5 md = 20 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 1630 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 80·1000/490,9 = 163 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 163/100000 = 0,00163 = 1630 µε

Відповідь

ε = 1630 µε
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: Pmax = 488,4 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·8482 = 1,074 × 10⁹ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0008, 0,0004545) = 0,0004545 (бронза)

Найбільше навантаження

Pmax = 0,0004545·1,074 × 10⁹ = 488375 N = 488,4 kN

Відповідь

Pmax = 488,4 kN
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 3,507 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(39000·251327) = 0,06121 rad
φ = 0,06121·180/π = 3,507°

Відповідь

φ = 3,507°
4.Кручення валів

Відповідь: do = 37,65 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 573 N·m = 572958 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·572958/(π·80·0,6836)) = 37,65 mm
di = 0,75·37,65 = 28,24 mm

Відповідь

do = 37,65 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 33,16 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 40/4 = 10 kN (вгору)
RA = −RB = −10 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить RA і зосереджений момент.

Mx = RA·a + M0 = −10·1,5 + 40 = 25 kN·m

Відповідь

Mx = 25 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 40,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·2,5 + 6·4·2
RB = 173/4 = 43,25 kN
ΣFy = 0: RA = 74 − 43,25 = 30,75 kN
w = 6 kN/mP = 50 kNABRA​ = 30,75RB​ = 43,25переріз2,5 m0,5 m1 m

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 30,75·3 − 50·(3 − 2,5) − 6·3·1,5 = 40,25 kN·m

Відповідь

Mx = 40,25 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 9,752 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 140 + 20/2 = 150 mm
стінка: Aw = 10·140 = 1400 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·150 + 1400·70)/7400 = 134,9 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·20³/12 + 6000·(150 − 134,9)² = 1,574 × 10⁶ mm⁴
стінка: 10·140³/12 + 1400·(70 − 134,9)² = 8,177 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,574 × 10⁶ + 8,177 × 10⁶ = 9,752 × 10⁶ mm⁴ = 9,752 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 9,752 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 114,6 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·120 − 1000·96)/(24000 − 1000) = 121 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·240³/12 + 24000·−1,043² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

50·20³/12 + 1000·−25,04² = 0,6605 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 114,6 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 114,6 × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τxy = 46,1 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (70 + 10)/2 = 40 MPa
R = σ1 − C = 95 − 40 = 55 MPa
στxyCσ1​σ2​

Дотичне напруження

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 30²) = 46,1 MPa

Відповідь

τxy = 46,1 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σθ = 131,2 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

σθ = 80 + 50·0,766 + 20·0,6428 = 131,2 MPa

Відповідь

σθ = 131,2 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δP = 2,387 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 11000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Прогин під силою

δP = Pa³/(3EI) = 11000·2500³/(3·2,4 × 10¹³) = 2,387 mm

Відповідь

δP = 2,387 mm
12.Прогин балки

Відповідь: RB = 18,75 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δload = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори RB піднімає вільний кінець на RBL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·5/8 = 18,75 kN

Відповідь

RB = 18,75 kN
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 137,3 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2100² = 137322 N = 137,3 kN

Відповідь

Pcr = 137,3 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 44,76 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/5 = 210

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44,76 MPa

Відповідь

σcr = 44,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials