Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 70 ГПа). Обидва мають довжину 800 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 300 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 300 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 40 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (алюміній; зовнішній діаметр 40 mm, внутрішній діаметр 30 mm, довжина 1,5 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 500 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 500 N·md_o = 40 mmd_i = 30 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 50 kW при 1500 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

60 kN @ 4 m35 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mP = 60 kN у 3,5 mw = 5 kN/m від 0 до 6 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 120 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 120 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 200 mmвиріз: 60 × 40 mmцентр отвору: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −40 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = −40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 100 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 100 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 6 mP = 40 kN у 3 m

R_B = kN

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 100 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 100 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,3265 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·8482 = 7,351 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 300000·800/7,351 × 10⁸ = 0,3265 mm

Відповідь

δ = 0,3265 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 11,29 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 40000·345575/973894 = 14194 N

Напруження

σ₂ = 14194/1257 = 11,29 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 11,29 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 9,62 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Кут закручування

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1500/(26000·171806) = 0,1679 rad

φ = 0,1679·180/π = 9,62°

Відповідь

φ = 9,62°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 29,1 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·20/218755 = 29,1 MPa

Відповідь

τ_max = 29,1 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 43,33 kN, R₂ = 51,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 43,33, M_C = 86,67, M_D = 95, M_E = 103,3 kN·m, M_F = 51,67, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 103,3 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 109,4 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·3,5 + 5·6·3

R_B = 300/6 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 50 = 40 kN

Де V = 0?

V(3,5⁻) = R_A − w·3,5 = 22,5 kN

V(3,5⁺) = 22,5 − 60 = −37,5 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·3,5 − w·3,5²/2 = 40·3,5 − 5·3,5²/2 = 109,4 kN·m

Відповідь

M_max = 109,4 kN·m

Це в точці x = 3,5 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 8,602 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

стінка: A_w = 18·120 = 2160 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·127,5 + 2160·60)/5460 = 100,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 220·15³/12 + 3300·(127,5 − 100,8)² = 2,415 × 10⁶ mm⁴

стінка: 18·120³/12 + 2160·(60 − 100,8)² = 6,187 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,415 × 10⁶ + 6,187 × 10⁶ = 8,602 × 10⁶ mm⁴ = 8,602 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 8,602 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 78,61 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·100 − 2400·120)/(24000 − 2400) = 97,78 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·200³/12 + 24000·2,222² = 80,12 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·40³/12 + 2400·22,22² = 1,505 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 78,61 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 78,61 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −74,52 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, −40 − 60) = −149°

Кут на елементі

θ_p = −74,52°

Відповідь

θ_p = −74,52°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 29,18 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 90 + 10·−0,1736 + −60·0,9848 = 29,18 MPa

Відповідь

σ_θ = 29,18 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 10,87 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 10,87 mm

Відповідь

δ_max = 10,87 mm

12.Прогин балки

Відповідь: R_B = 12,5 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·40/16 = 12,5 kN

Відповідь

R_B = 12,5 kN

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 3,09 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3500² = 3090 N = 3,09 kN

Відповідь

P_cr = 3,09 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 42,98 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·100000 = 300000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 42,98 mm

Відповідь

d = 42,98 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 97,71, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials