Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 30 mmСталь2 mP = 15 kN

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 15 kNd = 30 mmL = 2 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 25 mmЛатунь1,5 mØ 20 mmЛатунь1,5 mP = 120 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 120 kNділянка 1: Ø25 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Кручення валівСередня
T = 400 N·md = 30 mmL = 0,5 mφ = ?

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 400 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
Td = ?

Суцільний вал має передавати 20 kW при 750 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 20 kWN = 750 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 15 kNP2​ = 40 kNAB2,5 m1,5 m2 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 6 mP1 = 15 kN у 2,5 mP2 = 40 kN у 4 m
Mmax = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
6 kN/m20 kN10 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 0 m10 kN @ 6 m55 kN @ 2 m6 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
B = 140H = 250t = 12xрозміри в mm

Порожнистий прямокутний (коробчастий) переріз має зовнішню ширину B = 140 mm, зовнішню висоту H = 250 mm і сталу товщину стінки t = 12 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

B = 140 mmH = 250 mmt = 12 mm
r = mm
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
2303201814xM = 150 kN·mрозміри в mm

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 230 mm і товщиною 18 mm, повну висоту 320 mm і стінку товщиною 14 mm. Він сприймає згинальний момент 150 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σj у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 230 mmH = 320 mmtf = 18 mmtw = 14 mmM = 150 kN·m
σj = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = −80σy​ = 70τxy​ = 40MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = −80 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θp від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σx = −80 MPaσy = 70 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 30σy​ = 50τxy​ = −20MPa

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (σz = 0). Границя текучості матеріалу 250 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σx = 30 MPaσy = 50 MPaτxy = −20 MPaσY = 250 MPa
n =
11.Прогин балкиСередня
w = 6 kN/mABθ4 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θA перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Прогин балкиСкладна
w = 8 kN/mP = 13 kNδL = 2,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δmax.

P = 13 kNw = 8 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 4 m25 × 40 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
P = 135 kNL = 6 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 135 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 135 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,2122 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 15·1000/706,9 = 21,22 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 21,22/200000 = 0,0001061 = 106,1 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0001061·2000 mm = 0,2122 mm

Відповідь

δ = 0,2122 mm
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 9,397 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 244,5 MPa
σ2 = 382 MPa

Додайте видовження ділянок

δ1 = σ1L1/E1 = 244,5·1500/100000 = 3,667 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 382·1500/100000 = 5,73 mm
δ = δ1 + δ2 = 9,397 mm

Відповідь

δ = 9,397 mm
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 5,542 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(26000·79522) = 0,09673 rad
φ = 0,09673·180/π = 5,542°

Відповідь

φ = 5,542°
4.Кручення валів

Відповідь: d = 29,6 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·254648/(π·50)) = 29,6 mm

Відповідь

d = 29,6 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 65,83 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣMA = 0: RB·6 = 15·2,5 + 40·4
RB = 197,5/6 = 32,92 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 32,92 = 22,08 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P1: M = RA·2,5 = 22,08·2,5 = 55,21 kN·m
під P2: M = RB·2 = 32,92·2 = 65,83 kN·m

Найбільше значення

Mmax = 65,83 kN·m (під P2)

Відповідь

Mmax = 65,83 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 65,67 kN, R2 = 37,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = −20, MC = 22,67 kN·m, MD = 4,333, ME = −20, MF = −10, MG = 0

Відповідь

Позначка C: MC = 22,67 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 89,72 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = Ic + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

b = 116 mm, h = 226 mm
A = BH − bh = 140·250 − 116·226 = 8784 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 7,071 × 10⁷ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(7,071 × 10⁷/8784) = 89,72 mm

Відповідь

r = 89,72 mm
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σj = 98,73 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.

hw = 320 − 2·18 = 284 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (230·320³ − 216·284³)/12
Ix = 2,157 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 160 − 18 = 142 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·142/2,157 × 10⁸ = 98,73 MPa

Відповідь

σj = 98,73 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θp = 75,96 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCσ1​σ2​

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θp = atan2(2·40, −80 − 70) = 151,9°

Кут на елементі

θp = 75,96°

Відповідь

θp = 75,96°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 4,49

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σY; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Головні напруження

C = 40 MPa, R = 22,36 MPa
σ1 = 62,36 MPa, σ2 = 17,64 MPa, σ3 = 0

Мізес

σvM = √(62,36² − 62,36·17,64 + 17,64²) = 55,68 MPa
n = 250/55,68 = 4,49

Відповідь

n = 4,49

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: θA = 0,02552 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Кут повороту на кінці

θA = wL³/(24EI) = 6·4000³/(24·6,27 × 10¹¹) = 0,02552 rad

Відповідь

θA = 0,02552 rad

Це 1,462°.

12.Прогин балки

Відповідь: δmax = 4,883 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 13000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(48EI) = 13000·2500³/(48·1,7 × 10¹²) = 2,489 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 2,394 mm

Додайте

δmax = 2,489 + 2,394 = 4,883 mm

Відповідь

δmax = 4,883 mm
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 4,59 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2800² = 4590 N = 4,59 kN

Відповідь

Pcr = 4,59 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: d = 88,54 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2,5·135000 = 337500 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 88,54 mm

Відповідь

d = 88,54 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 189,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials