Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
P = ?12300 mm400 mmØ30Ø40δ = 0,5 mm

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,5 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
60 kN12300 mm200 mmØ30Ø30σ2​ = ?

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 30 мм, довжина 200 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 60 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ2 в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
3.Кручення валівСередня
T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,5 mφ = ?

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
d = 40 mmTB​ = 400 N·mTC​ = 750 N·mABC2,5 m0,8 m

Суцільний вал (латунь) діаметром 40 mm закріплений в A. У B, на відстані 2,5 m від A, діє обертовий момент 400 N·m, а на вільному кінці C, ще на 0,8 m далі, діє момент 750 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τmax у валу.

d = 40 mmTB = 400 N·mTC = 750 N·mAB = 2,5 mBC = 0,8 m
τmax = MPa
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 35 kNP2​ = 15 kNAB1 m2,5 m1,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 5 mP1 = 35 kN у 1 mP2 = 15 kN у 3,5 m
Mmax = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 8 kN/mP = 60 kNABпереріз5 m2,5 m0,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 7,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 60 kN у 5 mw = 8 kN/m від 0 до 8 mx = 7,5 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
100 mm300 mm210 mmØ60xIx​ = ?

Пластина 100 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 60 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 210 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 300 mmd = 60 mmцентр отвору: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
150280188xM = 100 kN·mрозміри в mm

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 150 mm і товщиною 18 mm, повну висоту 280 mm і стінку товщиною 8 mm. Він сприймає згинальний момент 100 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σj у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 150 mmH = 280 mmtf = 18 mmtw = 8 mmM = 100 kN·m
σj = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 60σy​ = 100τxy​ = 10MPa

У точці σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θs у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σx = 60 MPaσy = 100 MPaτxy = 10 MPa
θs = °
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = −60σy​ = 60τxy​ = −10MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = −60 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 35° проти годинникової стрілки від осі x.

σx = −60 MPaσy = 60 MPaτxy = −10 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.Прогин балкиСередня
P = 25 kNABδ2 m3 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2 m від опори A. Знайдіть прогин δP під силою.

P = 25 kNa = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 6 kN/mδL = 3 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції Ireq, що задовольняє цю умову.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Стійкість колонСередня
PL = 4 md = 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
P = 25 kNL = 2,5 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 25 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 25 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 104,7 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1257) = 2,653 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,5/4,775 × 10⁻⁶ = 104720 N = 104,7 kN

Відповідь

P = 104,7 kN
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ2 = 38,37 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 110000·706,9/200 = 388772 N/mm

Частка ділянки 2

F2 = 60000·388772/860011 = 27123 N

Напруження

σ2 = 27123/706,9 = 38,37 MPa (стиск)

Відповідь

σ2 = 38,37 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 5,387 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1500/(26000·613592) = 0,09402 rad
φ = 0,09402·180/π = 5,387°

Відповідь

φ = 5,387°
4.Кручення валів

Відповідь: τmax = 91,51 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Внутрішні крутні моменти

Напрямок TC прийнято за додатний.

TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC + TB = 750 + 400 = 1150 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|max = 1150 N·m
τmax = 16·1,15 × 10⁶/(π·40³) = 91,51 MPa

Відповідь

τmax = 91,51 MPa
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 32,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣMA = 0: RB·5 = 35·1 + 15·3,5
RB = 87,5/5 = 17,5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 17,5 = 32,5 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P1: M = RA·1 = 32,5·1 = 32,5 kN·m
під P2: M = RB·1,5 = 17,5·1,5 = 26,25 kN·m

Найбільше значення

Mmax = 32,5 kN·m (під P1)

Відповідь

Mmax = 32,5 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 33,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·5 + 8·8·4
RB = 556/8 = 69,5 kN
ΣFy = 0: RA = 124 − 69,5 = 54,5 kN
w = 8 kN/mP = 60 kNABRA​ = 54,5RB​ = 69,5переріз5 m2,5 m0,5 m

Розріжте в x = 7,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 54,5·7,5 − 60·(7,5 − 5) − 8·7,5·3,75 = 33,75 kN·m

Відповідь

Mx = 33,75 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 213,1 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·150 − 2827·210)/(30000 − 2827) = 143,8 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·300³/12 + 30000·6,243² = 226,2 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·66,24² = 13,04 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 213,1 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 213,1 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σj = 119 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.

hw = 280 − 2·18 = 244 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (150·280³ − 142·244³)/12
Ix = 1,025 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 140 − 18 = 122 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁸·122/1,025 × 10⁸ = 119 MPa

Відповідь

σj = 119 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θs = 31,72 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

σxyCτmax​

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θs = 10/22,36 = 0,4472, sin 2θs = −(−20)/22,36 = 0,8944
2θs = atan2(20, 10) = 63,43°

Кут на елементі

θs = 31,72°
перевірка: θs − θp = 31,72 − 76,72 = −45°

Відповідь

θs = 31,72°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σθ = −29,92 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

σθ = 0 + −60·0,342 + −10·0,9397 = −29,92 MPa

Відповідь

σθ = −29,92 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δP = 5,263 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 25000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Прогин під силою

δP = Pa²b²/(3EIL) = 25000·2000²·3000²/(3·1,14 × 10¹³·5000) = 5,263 mm

Відповідь

δP = 5,263 mm
12.Прогин балки

Відповідь: Ireq = 10,85 × 10⁶ mm⁴

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·3000⁴/(384·70000·8,333) = 1,085 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 10,85 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ireq = 10,85 × 10⁶ mm⁴
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 86,82 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·4000 = 4000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86,82 kN

Відповідь

Pcr = 86,82 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: d = 35,46 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2·25000 = 50000 N
KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 35,46 mm

Відповідь

d = 35,46 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 197,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials