Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 70 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 80 kNстрижень: Ø40 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 110 kNділянка 1: Ø25 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 75 kW при 500 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 75 kWN = 500 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

15 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 30 kN у 1 mw = 12 kN/m від 0 до 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 260 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 160 mm. Основа й полиці мають товщину 14 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b = 260 mmh = 160 mmt = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 130 × 20 mm, стінку висотою 240 mm і товщиною 10 mm та нижню полицю 250 × 14 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 130 × 20 mmстінка: 10 × 240 mmнижня полиця: 250 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −50 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 50° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = −50 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 40 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 250 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σ_x = 100 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,06027 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5890 = 6,637 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 80000·500/6,637 × 10⁸ = 0,06027 mm

Відповідь

δ = 0,06027 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 6,546 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 224,1 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 224,1·500/200000 = 0,5602 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 350,1·2000/117000 = 5,985 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,546 mm

Відповідь

δ = 6,546 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,167 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(80000·613592) = 0,02037 rad

φ = 0,02037·180/π = 1,167°

Відповідь

φ = 1,167°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 150 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,432 × 10⁶·20/190984 = 150 MPa

Відповідь

τ_max = 150 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 22,5 kN, R₂ = 22,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 20, M_C = 35, M_D = 45 kN·m, M_E = 35, M_F = 20, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 45 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 40,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1 + 12·4·2

R_B = 126/4 = 31,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 78 − 31,5 = 46,5 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 46,5·1 − 12·1·0,5 = 40,5 kN·m

Відповідь

M_x = 40,5 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 19,64 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 260·14 = 3640 mm², y₁ = 7 mm

дві полиці: A₂ = 2·14·146 = 4088 mm², y₂ = 14 + 146/2 = 87 mm

Центр ваги

ȳ = (3640·7 + 4088·87)/7728 = 49,32 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

основа: 260·14³/12 + 3640·(7 − 49,32)² = 6,578 × 10⁶ mm⁴

дві полиці: 2·14·146³/12 + 4088·(87 − 49,32)² = 1,307 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,578 × 10⁶ + 1,307 × 10⁷

I_x = 1,964 × 10⁷ mm⁴ = 19,64 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 19,64 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 110,7 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 2600 mm², y = 264 mm

стінка: A = 2400 mm², y = 134 mm

нижня полиця: A = 3500 mm², y = 7 mm

Центр ваги

ȳ = (2600·264 + 2400·134 + 3500·7)/8500 = 121,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 130·20³/12 + 2600·142,5² = 5,29 × 10⁷ mm⁴

стінка: 10·240³/12 + 2400·12,53² = 1,19 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 250·14³/12 + 3500·114,5² = 4,592 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,29 × 10⁷ + 1,19 × 10⁷ + 4,592 × 10⁷

I_x = 1,107 × 10⁸ mm⁴ = 110,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 110,7 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 10,39 MPa

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 35 − (−85)·(−0,1736) − 10·0,9848 = 10,39 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 59,61 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 70 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 10,39 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 2,245

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 70 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 120 MPa, σ₂ = 20 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(120² − 120·20 + 20²) = 111,4 MPa

n = 250/111,4 = 2,245

Відповідь

n = 2,245

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 4,167 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 4,167 mm

Відповідь

δ = 4,167 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 3,616 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·70000·8,333) = 3,616 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3,616 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 3,616 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 27,63 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1000² = 27635 N = 27,63 kN

Відповідь

P_cr = 27,63 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 4,318 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Відповідь

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials