Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (мідь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 10 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 20 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 60 мм, довжина 200 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 30 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 10 mm закручують моментом 40 N·m. Два кінці розрахункової довжини 300 mm повертаються один відносно одного на 8,75° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 40 N·md = 10 mmL = 300 mmφ = 8,75°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 60 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,8 m від A, діє обертовий момент 1500 N·m, а на вільному кінці C, ще на 3 m далі, діє момент 750 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 60 mmT_B = 1500 N·mT_C = 750 N·mAB = 0,8 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 4 m4 kN/m, 4–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть згинальний момент M_B на опорі B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mw = 2 kN/m від 0 до 6 mопори в x = 0 і x = 5 m

M_B = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 260 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 170 mm. Основа й полиці мають товщину 10 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b = 260 mmh = 170 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 150 мм × 300 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 300 mmвиріз: 50 × 50 mmцентр отвору: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 90 MPa і σᵧ = 50 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 130 MPa?

σ_x = 90 MPaσ_y = 50 MPaσ₁ = 130 MPa

τ_xy = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 20 mm сприймає осьову стискальну силу 140 kN разом з обертовим моментом 250 N·m. На поверхні вала знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 20 mmF = −140 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 8 mP = 50 kN у 4 m

R_B = kN

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 8162 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 75·1000/78,54 = 954,9 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 954,9/117000 = 0,008162 = 8162 µε

Відповідь

ε = 8162 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 9,817 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 110000·2827/200 = 1,555 × 10⁶ N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 30000·1,555 × 10⁶/1,681 × 10⁶ = 27757 N

Напруження

σ₂ = 27757/2827 = 9,817 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 9,817 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: G = 80,04 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 8,75·π/180 = 0,1527 rad

Модуль зсуву

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·300/(981,7·0,1527) = 80038 MPa

G = 80,04 GPa

Відповідь

G = 80,04 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 53,05 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C + T_B = 750 + 1500 = 2250 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 2250 N·m

τ_max = 16·2,25 × 10⁶/(π·60³) = 53,05 MPa

Відповідь

τ_max = 53,05 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 47,33 kN, R₂ = 39,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 94,67, M_C = 189,3 kN·m, M_D = 166, M_E = 126,7, M_F = 71,33, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 189,3 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_B = −1 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·6·3

R_B = 36/5 = 7,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 7,2 = 4,8 kN

Переріз у B, залишаємо консоль

Навантаження на консолі, w·a, прикладене на відстані a/2 від B і вигинає балку над опорою опуклістю догори.

M_B = −w·a²/2 = −2·1²/2 = −1 kN·m

Відповідь

M_B = −1 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 17,21 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 260·10 = 2600 mm², y₁ = 5 mm

дві полиці: A₂ = 2·10·160 = 3200 mm², y₂ = 10 + 160/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (2600·5 + 3200·90)/5800 = 51,9 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

основа: 260·10³/12 + 2600·(5 − 51,9)² = 5,74 × 10⁶ mm⁴

дві полиці: 2·10·160³/12 + 3200·(90 − 51,9)² = 1,147 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,74 × 10⁶ + 1,147 × 10⁷

I_x = 1,721 × 10⁷ mm⁴ = 17,21 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 17,21 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 331,6 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (45000·150 − 2500·105)/(45000 − 2500) = 152,6 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·300³/12 + 45000·−2,647² = 337,8 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

50·50³/12 + 2500·−47,65² = 6,196 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 331,6 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 331,6 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 56,57 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (90 + 50)/2 = 70 MPa

R = σ₁ − C = 130 − 70 = 60 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 20²) = 56,57 MPa

Відповідь

τ_xy = 56,57 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 51 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = −140000/(π·20²/4) = −140000/314,2 = −445,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = −222,8 MPa

R = √((−222,8)² + 159,2²) = 273,8 MPa

σ₁ = C + R = 51 MPa

σ₂ = C − R = −496,6 MPa

Відповідь

σ₁ = 51 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 4,219 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 4,219 mm

Відповідь

δ_max = 4,219 mm

12.Прогин балки

Відповідь: R_B = 15,63 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·50/16 = 15,63 kN

Відповідь

R_B = 15,63 kN

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 44,98 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·1000 = 1000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1000² = 44979 N = 44,98 kN

Відповідь

P_cr = 44,98 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 31,58 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Відповідь

σ_cr = 31,58 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials