Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 30 mmЛатунь0,5 mP = 35 kN

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (латунь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 25 mmЛатунь1,5 mØ 20 mmМідь1 mP = 75 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.

P = 75 kNділянка 1: Ø25 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1 m, мідь (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Кручення валівСередня
d = ?T = 100 N·mL = 0,8 m

Суцільний вал (алюміній) завдовжки 0,8 m передає обертовий момент 100 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 0,5°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 100 N·mL = 0,8 mG = 26 GPaφallow = 0,5°
d = mm
4.Кручення валівСкладна
Tdo​ = 50 mm, di​ = 38 mm

Порожнистий вал передає 30 kW при 3000 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τmax у валу.

P = 30 kWN = 3000 rpmdo = 50 mmdi = 38 mm
τmax = MPa
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
M0​ = 25 kN·mAB5 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 25 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 5 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mM0 = 25 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 5 m
Mx = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 2 kN/mP = 25 kNAB2 m6 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 8 mP = 25 kN у 2 mw = 2 kN/m від 0 до 8 m
Mmax = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
200 mm240 mm144 mmØ50xIx​ = ?

Пластина 200 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 144 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 240 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
1401510016xM = 15 kN·mрозміри в mm

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 15 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σверх на верхньому краї.

bf = 140 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 100 mmM = 15 kN·m
σверх = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 20σy​ = −60τxy​ = 30MPa

У точці σₓ = 20 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θs у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σx = 20 MPaσy = −60 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 50σy​ = 50τxy​ = −30MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 50 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x.

σx = 50 MPaσy = 50 MPaτxy = −30 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 20 kN/mδL = 3 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 5 kN/mAB8 m

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту MA у защемленні.

L = 8 mw = 5 kN/m
MA = kN·m
13.Стійкість колонСередня
PL = 2,5 md = 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 1 md = 40 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 495,1 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/100000 = 0,0004951 = 495,1 µε

Відповідь

ε = 495,1 µε
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σmax = 238,7 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 152,8 MPa
σ2 = 238,7 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σmax = 238,7 MPa

Відповідь

σmax = 238,7 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: d = 43,53 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 0,8 m = 800 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad
J = TL/(Gφ) = 100000·800/(26000·0,008727) = 352589 mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)1/4 = 43,53 mm

Відповідь

d = 43,53 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: τmax = 5,839 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Полярний момент інерції

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τmax = T·(do/2)/J = 95493·25/408885 = 5,839 MPa

Відповідь

τmax = 5,839 MPa
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 4,167 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 25/6 = 4,167 kN (вгору)
RA = −RB = −4,167 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить RA і зосереджений момент.

Mx = RA·a + M0 = −4,167·5 + 25 = 4,167 kN·m

Відповідь

Mx = 4,167 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 49,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·2 + 2·8·4
RB = 114/8 = 14,25 kN
ΣFy = 0: RA = 41 − 14,25 = 26,75 kN

Де V = 0?

V(2⁻) = RA − w·2 = 22,75 kN
V(2⁺) = 22,75 − 25 = −2,25 kN
Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 26,75·2 − 2·2²/2 = 49,5 kN·m

Відповідь

Mmax = 49,5 kN·m

Це в точці x = 2 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 228,9 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (48000·120 − 1963·144)/(48000 − 1963) = 119 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·240³/12 + 48000·1,024² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·25,02² = 1,536 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 228,9 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 228,9 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σверх = 111 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 140·15 = 2100 mm², yf = 100 + 15/2 = 107,5 mm
стінка: Aw = 16·100 = 1600 mm², yw = 100/2 = 50 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2100·107,5 + 1600·50)/3700 = 82,64 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 140·15³/12 + 2100·(107,5 − 82,64)² = 1,338 × 10⁶ mm⁴
стінка: 16·100³/12 + 1600·(50 − 82,64)² = 3,037 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,338 × 10⁶ + 3,037 × 10⁶ = 4,375 × 10⁶ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 115 − 82,64 = 32,36 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·32,36/4,375 × 10⁶ = 111 MPa

Відповідь

σверх = 111 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θs = −26,57 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCτmax​

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θs = 30/50 = 0,6, sin 2θs = −40/50 = −0,8
2θs = atan2(−40, 30) = −53,13°

Кут на елементі

θs = −26,57°
перевірка: θs − θp = −26,57 − 18,43 = −45°

Відповідь

θs = −26,57°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σθ = 20,46 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

σθ = 50 + 0·−0,1736 + −30·0,9848 = 20,46 MPa

Відповідь

σθ = 20,46 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δmax = 13,1 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 13,1 mm

Відповідь

δmax = 13,1 mm
12.Прогин балки

Відповідь: MA = 40 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δload = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори RB піднімає вільний кінець на RBL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·8/8 = 15 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

MA = wL²/2 − RB·L = 160 − 120 = 40 kN·m

Відповідь

MA = 40 kN·m
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 55,56 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/5000² = 55563 N = 55,56 kN

Відповідь

Pcr = 55,56 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 197,4 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/10 = 100

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Відповідь

σcr = 197,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials