Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 70 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 30 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (латунь; зовнішній діаметр 40 mm, внутрішній діаметр 24 mm, довжина 0,5 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 750 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 750 N·md_o = 40 mmd_i = 24 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 10 kW при 300 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 10 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 3 kN/m від 0 до 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 5 mP = 65 kN у 3 mw = 2 kN/m від 0 до 5 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 300 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 110 mm. Основа й полиці мають товщину 12 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b = 300 mmh = 110 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 100 × 14 mm, стінку висотою 310 mm і товщиною 14 mm та нижню полицю 220 × 12 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 100 × 14 mmстінка: 14 × 310 mmнижня полиця: 220 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 10 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 10 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 40 mm сприймає осьову стискальну силу 50 kN разом з обертовим моментом 2000 N·m. На поверхні вала знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 40 mmF = −50 kNT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту M_A у защемленні.

L = 8 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 55 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 55 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 7,46 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/201,1 = 348,2 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 348,2/70000 = 0,004974 = 4974 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,004974·1500 mm = 7,46 mm

Відповідь

δ = 7,46 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 14,44 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 110000·706,9/300 = 259181 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 30000·259181/761836 = 10206 N

Напруження

σ₂ = 10206/706,9 = 14,44 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 14,44 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 2,518 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Кут закручування

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·500/(39000·218755) = 0,04395 rad

φ = 0,04395·180/π = 2,518°

Відповідь

φ = 2,518°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 27,86 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·75)) = 27,86 mm

Відповідь

d = 27,86 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 5,625 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 6·1,5 − 3·1,5·0,75 = 5,625 kN·m

Відповідь

M_x = 5,625 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 84 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 65·3 + 2·5·2,5

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 44 = 31 kN

Де V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 25 kN

V(3⁺) = 25 − 65 = −40 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 31·3 − 2·3²/2 = 84 kN·m

Відповідь

M_max = 84 kN·m

Це в точці x = 3 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 6,229 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 300·12 = 3600 mm², y₁ = 6 mm

дві полиці: A₂ = 2·12·98 = 2352 mm², y₂ = 12 + 98/2 = 61 mm

Центр ваги

ȳ = (3600·6 + 2352·61)/5952 = 27,73 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

основа: 300·12³/12 + 3600·(6 − 27,73)² = 1,744 × 10⁶ mm⁴

дві полиці: 2·12·98³/12 + 2352·(61 − 27,73)² = 4,485 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,744 × 10⁶ + 4,485 × 10⁶

I_x = 6,229 × 10⁶ mm⁴ = 6,229 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 6,229 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 135,3 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 1400 mm², y = 329 mm

стінка: A = 4340 mm², y = 167 mm

нижня полиця: A = 2640 mm², y = 6 mm

Центр ваги

ȳ = (1400·329 + 4340·167 + 2640·6)/8380 = 143,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 100·14³/12 + 1400·185,7² = 4,828 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·310³/12 + 4340·23,66² = 3,718 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 220·12³/12 + 2640·137,3² = 4,983 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,828 × 10⁷ + 3,718 × 10⁷ + 4,983 × 10⁷

I_x = 1,353 × 10⁸ mm⁴ = 135,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 135,3 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 36,06 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((10 − 70)/2)² + 20²) = 36,06 MPa

Відповідь

τ_max = 36,06 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 140,5 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = −50000/(π·40²/4) = −50000/1257 = −39,79 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·40³) = 159,2 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = −19,89 MPa

R = √((−19,89)² + 159,2²) = 160,4 MPa

σ₁ = C + R = 140,5 MPa

σ₂ = C − R = −180,3 MPa

Відповідь

σ₁ = 140,5 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,786 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 1,786 mm

Відповідь

δ_max = 1,786 mm

12.Прогин балки

Відповідь: M_A = 80 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·8/8 = 30 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 320 − 240 = 80 kN·m

Відповідь

M_A = 80 kN·m

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 23,03 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1250² = 23029 N = 23,03 kN

Відповідь

P_cr = 23,03 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 100,3 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·55000 = 137500 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 100,3 mm

Відповідь

d = 100,3 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 199,3, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials