Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 70 kNd = 12 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з латунь (діаметр 40 мм, довжина 200 мм, E = 100 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 20 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 200 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,8 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 10 kW при 500 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 10 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mP₁ = 35 kN у 1,5 mP₂ = 45 kN у 3 m

M_max = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 8 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 30 kN у 7 mw = 6 kN/m від 0 до 10 mx = 8 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 150 mm і товщиною 14 mm, повну висоту 400 mm і стінку товщиною 10 mm. Знайдіть його пружний момент опору S_x при згині відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 150 mmH = 400 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 5 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 110 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 20° за годинниковою стрілкою. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 110 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 30 mm сприймає згинальний момент 1000 N·m разом з обертовим моментом 750 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 30 mmM = 1000 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 125 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 3 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 125 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 35 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 35 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 3,095 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/113,1 = 618,9 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 618,9/200000 = 0,003095 = 3095 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,003095·1000 mm = 3,095 mm

Відповідь

δ = 3,095 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 10,98 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 100000·1257/200 = 628319 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 20000·628319/911062 = 13793 N

Напруження

σ₂ = 13793/1257 = 10,98 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 10,98 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 32,56 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·50·0,5904)) = 32,56 mm

d_i = 0,8·32,56 = 26,04 mm

Відповідь

d_o = 32,56 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 27,31 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 3,905 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Полярний момент інерції

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·37,5/1,834 × 10⁶ = 3,905 MPa

Відповідь

τ_max = 3,905 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 93,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1,5 + 45·3

R_B = 187,5/6 = 31,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 31,25 = 48,75 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·1,5 = 48,75·1,5 = 73,13 kN·m

під P₂: M = R_B·3 = 31,25·3 = 93,75 kN·m

Найбільше значення

M_max = 93,75 kN·m (під P₂)

Відповідь

M_max = 93,75 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 90 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·7 + 6·10·5

R_B = 510/10 = 51 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 51 = 39 kN

Розріжте в x = 8 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 39·8 − 30·(8 − 7) − 6·8·4 = 90 kN·m

Відповідь

M_x = 90 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: S_x = 997,1 × 10³ mm³

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 400 − 2·14 = 372 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·400³ − 140·372³)/12

I_x = 1,994 × 10⁸ mm⁴

Момент опору перерізу

c = H/2 = 200 mm

S_x = I/c = 1,994 × 10⁸/200

S_x = 997067 mm³ = 997,1 × 10³ mm³

Відповідь

S_x = 997,1 × 10³ mm³

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 20,04 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

стінка: A_w = 16·200 = 3200 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·205 + 3200·100)/4400 = 128,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 120·10³/12 + 1200·(205 − 128,6)² = 7,008 × 10⁶ mm⁴

стінка: 16·200³/12 + 3200·(100 − 128,6)² = 1,329 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,008 × 10⁶ + 1,329 × 10⁷ = 2,03 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 210 − 128,6 = 81,36 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·81,36/2,03 × 10⁷ = 20,04 MPa

Відповідь

σ_верх = 20,04 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 36,96 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 65 − 45·0,766 − 10·(−0,6428) = 36,96 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 93,04 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 130 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 36,96 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 424,4 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·30³) = 377,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 188,6 MPa

R = √(188,6² + 141,5²) = 235,8 MPa

σ₁ = C + R = 424,4 MPa

σ₂ = C − R = −47,16 MPa

Відповідь

σ₁ = 424,4 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 48,21 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 5·6000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 48,21 mm

Відповідь

δ = 48,21 mm

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 173,9 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·9,722) = 5,481 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·5,481 × 10⁷/125)^1/3 = 173,9 mm

Відповідь

h_req = 173,9 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 248,1 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·4000 = 4000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248,1 kN

Відповідь

P_cr = 248,1 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 111,8 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·35000 = 105000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 111,8 mm

Відповідь

d = 111,8 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 429,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials