Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 40 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 30 мм, довжина 200 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 60 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 500 N·md = 50 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 60 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 1,2 m від A і 0,8 m від B, прикладено обертовий момент 1000 N·m. Знайдіть кут повороту φ_C перерізу C у градусах.

d = 60 mmT₀ = 1000 N·ma = 1,2 mb = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

50 kN @ 8 m5 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть згинальний момент M_B на опорі B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 7 mw = 10 kN/m від 0 до 7 mопори в x = 0 і x = 5 m

M_B = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 96 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 40 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mmM = 40 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −70 MPa, σᵧ = −20 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 40 mm сприймає згинальний момент 200 N·m разом з обертовим моментом 2000 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 40 mmM = 200 N·mT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 0,5 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 27 kNa = 0,5 mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 12,73 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 40·1000/78,54 = 509,3 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 509,3/100000 = 0,005093 = 5093 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,005093·2500 mm = 12,73 mm

Відповідь

δ = 12,73 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 26,91 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 110000·706,9/200 = 388772 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 60000·388772/1,227 × 10⁶ = 19018 N

Напруження

σ₂ = 19018/706,9 = 26,91 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 26,91 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,5836 °

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(80000·613592) = 0,01019 rad

φ = 0,01019·180/π = 0,5836°

Відповідь

φ = 0,5836°

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 0,8314 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·0,8/2 = 400 N·m

T_B = 1000·1,2/2 = 600 N·m

Кут повороту C

Використайте ділянку AC: вона закріплена в A і передає T_A.

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 400000·1200/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,01451 rad = 0,8314°

Відповідь

φ_C = 0,8314°

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 34,17 kN, R₂ = 45,83 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 68,33, M_C = 126,7, M_D = 165, M_E = 183,3 kN·m, M_F = 91,67, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 183,3 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_B = −20 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·7 = 70 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·7·3,5

R_B = 245/5 = 49 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 49 = 21 kN

Переріз у B, залишаємо консоль

Навантаження на консолі, w·a, прикладене на відстані a/2 від B і вигинає балку над опорою опуклістю догори.

M_B = −w·a²/2 = −10·2²/2 = −20 kN·m

Відповідь

M_B = −20 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 114,7 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·120 − 706,9·96)/(24000 − 706,9) = 120,7 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·240³/12 + 24000·−0,7283² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−24,73² = 0,472 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 114,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 114,7 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 107,9 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

стінка: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·247,5 + 2880·120)/4680 = 169 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 120·15³/12 + 1800·(247,5 − 169)² = 1,111 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·240³/12 + 2880·(120 − 169)² = 2,075 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,111 × 10⁷ + 2,075 × 10⁷ = 3,186 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 255 − 169 = 85,96 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·85,96/3,186 × 10⁷ = 107,9 MPa

Відповідь

σ_верх = 107,9 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 19,9 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 30/39,05 = 0,7682, sin 2θ_s = −(−25)/39,05 = 0,6402

2θ_s = atan2(25, 30) = 39,81°

Кут на елементі

θ_s = 19,9°

перевірка: θ_s − θ_p = 19,9 − 64,9 = −45°

Відповідь

θ_s = 19,9°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 175,9 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·40³) = 31,83 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·40³) = 159,2 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 15,92 MPa

R = √(15,92² + 159,2²) = 159,9 MPa

σ₁ = C + R = 175,9 MPa

σ₂ = C − R = −144 MPa

Відповідь

σ₁ = 175,9 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 1,626 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 27000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,1913 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,000574 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,626 mm

Відповідь

δ_B = 1,626 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 50,63 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·6000⁴/(384·200000·16,67) = 5,063 × 10⁷ mm⁴

I_req = 50,63 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 50,63 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 9,646 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·6000 = 12000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/12000² = 9646 N = 9,646 kN

Відповідь

P_cr = 9,646 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 12,69 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/15 = 233,3

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/233,3² = 12,69 MPa

Відповідь

σ_cr = 12,69 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials