Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Наближено обчисліть ∫13 1/x dx за формулою Сімпсона, n = 2, і порівняйте з точним значенням. Знайдіть абсолютну похибку |E| = |S − I|.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]n = 2
|E| =
2.Чисельні методиСкладна
Скористайтеся методом Ейлера з h = 0,5 для y′ = 1,5y, y(0) = −1, щоб оцінити y3 ≈ y(1,5).
y′ = 1,5yy(0) = −1h = 0,5
y3 =
3.Послідовності та рядиСередня
Рівно один із чотирьох рядів розбігається. Клікніть його.
Скористайтеся многочленом Маклорена степеня 2 для f(x) = 1/(1 − 2x), щоб наблизити f(−0,2). Дайте P₂(−0,2).
f(x) = 1/(1 − 2x)n = 2x = −0,2
P₂(−0.2) =
5.Матриці та визначникиСередня
Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.
A = [−1 −3 −4; 0 5 3; 3 −3 3]
det A =
6.Матриці та визначникиСкладна
Розв'яжіть систему x − 3y = −11 і −3x − 3y = 11. Знайдіть x.
x − 3y = −11−3x − 3y = 11
x =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Розв’яжіть y″ + 5y′ + 6y = 0 при y(0) = 3 і y′(0) = 6. Знайдіть y(1).
y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 3y′(0) = 6
y(1) =
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Система підпорядковується y″ + 2y′ + 17y = 170 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + 2y′ + 17y = 170y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: |E| = 0,0125
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Точне значення
I = 1,098612
Формула Сімпсона
S = (1/3)·(1 + 4·0,5 + 0,333333) = 1,111111
Похибка
|E| = |1,111111 − 1,098612| = 0,0125
Відповідь
|E| = 0,0125
Відносна похибка: 1,138 %.
2.Чисельні методи
Відповідь: y3 = −5,359
Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.
Кроки Ейлера
y₁ = −1 + 0,5·(−1,5) = −1,75
y₂ = −1,75 + 0,5·(−2,625) = −3,0625
y₃ = −3,0625 + 0,5·(−4,59375) = −5,359375
Графік
y3 = −5,359
Відповідь
y3 = −5,359
Точне значення дорівнює y(1,5) = −9,487736.
3.Послідовності та ряди
Відповідь: B: Σ k!/3ᵏ
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Перевірте кожен ряд
A: Σ (2/5)ᵏ → Геометричний з r = 2/5, |r| < 1: збігається.
B: Σ k!/3ᵏ → Ознака Даламбера: L = lim (k + 1)/3 = ∞, розбігається.
C: Σ (−1)ᵏ/k → Знакозмінний, із 1/k, що спадає до 0: збігається (умовно).
D: Σ 1/(k(k + 4)) → Менший за 1/k²: збігається за ознакою порівняння.
Відповідь
B: Σ k!/3ᵏ
Відповідь
B: Σ k!/3ᵏ
4.Послідовності та ряди
Відповідь: P₂(−0.2) = 0,76
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Многочлен Маклорена
P₂(x) = 1 + 2x + 4x²
Підставте
P₂(−0,2) = 1 − 0,4 + 0,16 = 0,76
Відповідь
P₂(−0,2) = 0,76
Точне значення дорівнює f(−0,2) = 0,714286; похибка −0,0457143 зменшується, якщо взяти більше членів або точку ближче до 0.
5.Матриці та визначники
Відповідь: det A = 9
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Мінори 2×2 першого рядка
M₁₁ = 24, M₁₂ = −9, M₁₃ = −15
Розклад за рядком
det A = (−1)·24 − (−3)·(−9) + (−4)·(−15) = 9
Відповідь
det A = 9
6.Матриці та визначники
Відповідь: x = −5,5
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Визначник матриці коефіцієнтів
det A = 1·(−3) − (−3)·(−3) = −12
Замініть стовпець x
det Aₓ = (−11)·(−3) − (−3)·11 = 66
x = 66/(−12) = −5,5
Відповідь
x = −5,5
y = 1,833
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: y(1) = 1,433
Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.
Характеристичні корені
(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3
Сталі за початковими значеннями
A + B = 3, −2A − 3B = 6
A = 15, B = −12
Обчисліть
y(1) = 15·e−2 + (−12)·e−3 = 1,433
Відповідь
y(1) = 1,433
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: ymax = 14,56
Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.