Чисельні методи: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

Послідовності та ряди

Арифметична послідовність: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності: R = lim |c_k/c_k+1|
Многочлен Тейлора: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Матриці та визначники

визначник 2×2: det = ad − bc
Обернена матриця 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Власні значення: det(A − λI) = 0
Правило Крамера: x_i = det(A_i)/det(A)

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Задачі для практики

1.Чисельні методиСередня

Швидкість транспортного засобу вимірюють кожні 10 с (таблиця). Оцініть пройдену відстань s від t = 0 до t = 60 с за формулою Сімпсона.

h = 10 sn = 6

s = m

2.Чисельні методиСкладна

Скористайтеся методом Ейлера з h = 0,1 для y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5, щоб оцінити y₅ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,1

y₅ =

3.Послідовності та рядиСередня

Знайдіть суму S = Σ_k=1^∞ 4/(k(k + 2)).

a_k = 4/(k(k + 2))

S =

4.Послідовності та рядиСкладна

Функцію f(x) = eˣ наближено в точці x = 1 многочленом Маклорена степеня n. За оцінкою Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = 3 знайдіть найменший степінь n, що гарантує похибку нижче за 1 × 10⁻⁶.

f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 1 × 10⁻⁶

n =

5.Матриці та визначникиСередня

Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.

A = [−2 0 −3; 1 −3 −2; 1 0 0]

det A =

6.Матриці та визначникиСкладна

Знайдіть більше власне значення λ поданої матриці A.

A = [−1 −2; 1 −4]

λ =

7.Диференціальні рівнянняСередня

Розв’яжіть y″ + 4y′ + 4y = 0 при y(0) = 3 і y′(0) = -1. Знайдіть y(2).

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = -1

y(2) =

8.Диференціальні рівнянняСкладна

Розв’яжіть задачу Коші y′ + y/x = 4 при x > 0, y(1) = 3. Знайдіть y(2).

y′ + y/x = 4y(1) = 3

y(2) =

3Розчини

1.Чисельні методи

Відповідь: s = 786,7 m

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Зважена сума

8 + 4·8 + 2·10 + 4·14 + 2·12 + 4·18 + 24 = 236

Формула Сімпсона

s = (10/3)·236 = 786,7 m

Відповідь

s = 786,7 m

2.Чисельні методи

Відповідь: y₅ = 1,081

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Кроки Ейлера

y₁ = 0,5 + 0,1·(1) = 0,6

y₂ = 0,6 + 0,1·(1,059964) = 0,705996

y₃ = 0,705996 + 0,1·(1,140731) = 0,820069

y₄ = 0,820069 + 0,1·(1,243547) = 0,944424

y₅ = 0,944424 + 0,1·(1,368848) = 1,081309

Графік

y₅ = 1,081

Відповідь

y₅ = 1,081

3.Послідовності та ряди

Відповідь: S = 3

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; ознака Коші: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |c_k/c_k+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Простіші дроби

4/(k(k + 2)) = (4/2)·(1/k − 1/(k + 2))

Скасувати

S = (4/2)·(1 + 1/2) = 3

Відповідь

S = 3

4.Послідовності та ряди

Відповідь: n = 9

Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.

Оцінки для зростаючого n

n = 8: 8,267 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶

n = 9: 8,267 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Найменший степінь

n = 9

Відповідь

n = 9

5.Матриці та визначники

Відповідь: det A = −9

Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.

Мінори 2×2 першого рядка

M₁₁ = 0, M₁₂ = 2, M₁₃ = 3

Розклад за рядком

det A = (−2)·0 − 0·2 + (−3)·3 = −9

Відповідь

det A = −9

6.Матриці та визначники

Відповідь: λ = −2

Характеристичне рівняння

λ² − (−5)λ + (6) = 0

Розв’яжіть

λ = (−5 ± √(1))/2 → λ = −3, −2

λ = −2

Відповідь

λ = −2

7.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(2) = 0,2381

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = e^rt: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·e^rt (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Подвійний корінь

(r + 2)² = 0 → r = −2

Сталі

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 2A → B = -1 + 6 = 5

Обчисліть

y(2) = (3 + 5·2)·e⁻⁴ = 0,2381

Відповідь

y(2) = 0,2381

8.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(2) = 4,5

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Інтегрувальний множник

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Інтегруйте

(x¹y)′ = 4x → x¹y = 4x²/2 + C

Початкова умова

3 = 4/2 + C → C = 1

Обчисліть

y(2) = (4·2²/2 + 1)/2¹ = 4,5

Відповідь

y(2) = 4,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods