Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Формулу трапецій застосовують до ∫01 sin x dx. Похибка не перевищує (b − a)³·M/(12n²), де M = max|f″| на [0, 1]. Знайдіть найменшу кількість смуг n, що гарантує похибку нижче за 0,0005.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005
n =
2.Чисельні методиСкладна
Скористайтеся методом Ейлера з h = 0,25 для y′ = −y, y(0) = 2, щоб оцінити y4 ≈ y(1).
y′ = −yy(0) = 2h = 0,25
y4 =
3.Послідовності та рядиСередня
Застосуйте ознаку Коші до Σk=1∞ ((3k + 1)/(5k + 2))ᵏ. Знайдіть L = lim |ak|1/k.
ak = ((3k + 1)/(5k + 2))ᵏ
L =
4.Послідовності та рядиСкладна
Знайдіть коефіцієнт c₃ при (x − 3)³ у ряді Тейлора функції f(x) = 1/x у точці a = 3.
f(x) = 1/xa = 3k = 3
c₃ =
5.Матриці та визначникиСередня
Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.
A = [−5 −1 −1; 5 −3 −4; 0 4 −5]
det A =
6.Матриці та визначникиСкладна
Розв'яжіть систему −3x − 5y = 12 і x + 4y = −2. Знайдіть x.
−3x − 5y = 12x + 4y = −2
x =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Розв’яжіть y″ + 5y′ + 6y = 0 при y(0) = 1 і y′(0) = 6. Знайдіть y(1).
y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 1y′(0) = 6
y(1) =
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Розв’яжіть задачу Коші y′ + 2y/x = 2 при x > 0, y(1) = 5. Знайдіть y(2).
y′ + 2y/x = 2y(1) = 5
y(2) =
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: n = 12
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Оцінка другої похідної
M = sin 1 = 0,8415
Виразіть n
n² > 1·0,8415/(12·0,0005) = 140,2
n > 11,84 → n = 12
Відповідь
n = 12
2.Чисельні методи
Відповідь: y4 = 0,6328
Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.
Кроки Ейлера
y₁ = 2 + 0,25·(−2) = 1,5
y₂ = 1,5 + 0,25·(−1,5) = 1,125
y₃ = 1,125 + 0,25·(−1,125) = 0,84375
y₄ = 0,84375 + 0,25·(−0,84375) = 0,632813
Графік
y4 = 0,6328
Відповідь
y4 = 0,6328
Точне значення дорівнює y(1) = 0,735759.
3.Послідовності та ряди
Відповідь: L = 0,6
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Корінь із членів
|ak|1/k = (3k + 1)/(5k + 2) → 3/5
Висновок
L = 0,6 < 1
Відповідь
L = 0,6
L < 1, тож ряд збігається.
4.Послідовності та ряди
Відповідь: c₃ = −0,01235
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Похідна f⁽³⁾
f⁽³⁾(x) = −6/x⁴
Коефіцієнт
c₃ = −6/(3⁴·6) = −0,01235
c₃ = −0,01235
Відповідь
c₃ = −0,01235
5.Матриці та визначники
Відповідь: det A = −200
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Мінори 2×2 першого рядка
M₁₁ = 31, M₁₂ = −25, M₁₃ = 20
Розклад за рядком
det A = (−5)·31 − (−1)·(−25) + (−1)·20 = −200
Відповідь
det A = −200
6.Матриці та визначники
Відповідь: x = −5,429
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Визначник матриці коефіцієнтів
det A = (−3)·4 − (−5)·1 = −7
Замініть стовпець x
det Aₓ = 12·4 − (−5)·(−2) = 38
x = 38/(−7) = −5,429
Відповідь
x = −5,429
y = 0,8571
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: y(1) = 0,8197
Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.
Характеристичні корені
(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3
Сталі за початковими значеннями
A + B = 1, −2A − 3B = 6
A = 9, B = −8
Обчисліть
y(1) = 9·e−2 + (−8)·e−3 = 0,8197
Відповідь
y(1) = 0,8197
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: y(2) = 2,417
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.