Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Формулу трапецій застосовують до ∫02 sin x dx. Похибка не перевищує (b − a)³·M/(12n²), де M = max|f″| на [0, 2]. Знайдіть найменшу кількість смуг n, що гарантує похибку нижче за 0,001.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,001
n =
2.Чисельні методиСкладна
Розв’яжіть y′ = −2ty, y(0) = 3 методом Ейлера з кроком h = 0,25 до t = 0,75. Точний розв’язок — y = y₀e−t². Знайдіть глобальну похибку |E| = |y(0,75) − y3|.
y′ = −2tyy(0) = 3h = 0,25
|E| =
3.Послідовності та рядиСередня
Рівно один із чотирьох рядів збігається. Клікніть його.
Функцію f(x) = sin x наближено в точці x = 1 многочленом Маклорена степеня n. За оцінкою Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = 1 знайдіть найменший степінь n, що гарантує похибку нижче за 1 × 10⁻⁵.
f(x) = sin xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Матриці та визначникиСередня
Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.
A = [4 1 −4; −4 3 3; 4 5 5]
det A =
6.Матриці та визначникиСкладна
Розв'яжіть систему 4x − 2y = −1 і −5x − 5y = 12. Знайдіть x.
4x − 2y = −1−5x − 5y = 12
x =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Розв’яжіть y″ + 5y′ + 4y = 0 при y(0) = 4 і y′(0) = -2. Знайдіть y(0,5).
y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 4y′(0) = -2
y(0.5) =
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Система підпорядковується y″ + 4y′ + 13y = 65 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + 4y′ + 13y = 65y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: n = 26
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Оцінка другої похідної
M = |sin(π/2)| = 1
Виразіть n
n² > 8·1/(12·0,001) = 666,7
n > 25,82 → n = 26
Відповідь
n = 26
2.Чисельні методи
Відповідь: |E| = 0,2594
Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.
Кроки Ейлера
y3 = 1,96875
Точне значення
y(0,75) = 1,709348
Глобальна похибка
|E| = |1,709348 − 1,96875| = 0,2594
Графік
Відповідь
|E| = 0,2594
Зменшення h удвічі приблизно вдвічі зменшує похибку методу Ейлера.
3.Послідовності та ряди
Відповідь: A: Σ (−1)ᵏ/√k
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Перевірте кожен ряд
A: Σ (−1)ᵏ/√k → Знакозмінний, із 1/√k, що спадає до 0: збігається (умовно).
B: Σ (1 + 1/k)ᵏ → Члени прямують до e, а не до 0: розбігається за необхідною умовою збіжності.
C: Σ k!/10ᵏ → Ознака Даламбера: L = lim (k + 1)/10 = ∞, розбігається.
D: Σ (5/3)ᵏ → Геометричний з r = 5/3 > 1: члени зростають, тож ряд розбігається.
Відповідь
A: Σ (−1)ᵏ/√k
Відповідь
A: Σ (−1)ᵏ/√k
4.Послідовності та ряди
Відповідь: n = 8
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Оцінки для зростаючого n
n = 7: 2,48 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
Найменший степінь
n = 8
Відповідь
n = 8
5.Матриці та визначники
Відповідь: det A = 160
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Мінори 2×2 першого рядка
M₁₁ = 0, M₁₂ = −32, M₁₃ = −32
Розклад за рядком
det A = 4·0 − 1·(−32) + (−4)·(−32) = 160
Відповідь
det A = 160
6.Матриці та визначники
Відповідь: x = −0,9667
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Визначник матриці коефіцієнтів
det A = 4·(−5) − (−2)·(−5) = −30
Замініть стовпець x
det Aₓ = (−1)·(−5) − (−2)·12 = 29
x = 29/(−30) = −0,9667
Відповідь
x = −0,9667
y = −1,433
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: y(0.5) = 2,74
Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.
Характеристичні корені
(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4
Сталі за початковими значеннями
A + B = 4, −1A − 4B = -2
A = 4,667, B = −0,6667
Обчисліть
y(0,5) = 4,667·e−0,5 + (−0,6667)·e−2 = 2,74
Відповідь
y(0,5) = 2,74
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: ymax = 5,616
Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.