Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Наближено обчисліть ∫14 1/x dx за формулою Сімпсона, n = 2, і порівняйте з точним значенням. Знайдіть абсолютну похибку |E| = |S − I|.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 2
|E| =
2.Чисельні методиСкладна
Виконайте один крок класичного методу Рунге–Кутти (RK4) з h = 0,1 для y′ = cos t − y, y(0) = 2. Знайдіть y₁ ≈ y(0,1).
y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,1
y1 =
3.Послідовності та рядиСередня
Рівно один із чотирьох рядів збігається. Клікніть його.
A: Σ (1 + 1/k)ᵏB: Σ (3/5)ᵏC: Σ (5/4)ᵏD: Σ ln k / k
1A: Σ (1 + 1/k)ᵏ
2B: Σ (3/5)ᵏ
3C: Σ (5/4)ᵏ
4D: Σ ln k / k
4.Послідовності та рядиСкладна
Знайдіть коефіцієнт c₃ при (x − 1)³ у ряді Тейлора функції f(x) = e−x у точці a = 1.
f(x) = e−xa = 1k = 3
c₃ =
5.Матриці та визначникиСередня
Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.
A = [3 3 0; −3 3 4; −2 5 −1]
det A =
6.Матриці та визначникиСкладна
Знайдіть більше власне значення λ поданої матриці A.
A = [−1 −3; −7 3]
λ =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Розв’яжіть y″ + 8y′ + 16y = 0 при y(0) = 5 і y′(0) = 4. Знайдіть y(1,5).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = 4
y(1.5) =
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Бак містить 500 L чистої води. Розсіл із 0,1 kg солі на літр надходить зі швидкістю 5 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Через скільки хвилин t бак міститиме 15 kg солі?
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min
t = min
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: |E| = 0,03871
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Точне значення
I = 1,386294
Формула Сімпсона
S = (1,5/3)·(1 + 4·0,4 + 0,25) = 1,425
Похибка
|E| = |1,425 − 1,386294| = 0,03871
Відповідь
|E| = 0,03871
Відносна похибка: 2,792 %.
2.Чисельні методи
Відповідь: y1 = 1,905
Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Перевірте кожен ряд
A: Σ (1 + 1/k)ᵏ → Члени прямують до e, а не до 0: розбігається за необхідною умовою збіжності.
B: Σ (3/5)ᵏ → Геометричний з r = 3/5, |r| < 1: збігається.
C: Σ (5/4)ᵏ → Геометричний з r = 5/4 > 1: члени зростають, тож ряд розбігається.
D: Σ ln k / k → Більший за 1/k для k ≥ 3: розбігається за порівнянням із гармонічним рядом.
Відповідь
B: Σ (3/5)ᵏ
Відповідь
B: Σ (3/5)ᵏ
4.Послідовності та ряди
Відповідь: c₃ = −0,06131
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Похідна f⁽³⁾
f⁽³⁾(x) = (−1)³·e−x
Коефіцієнт
c₃ = (−1)³·e−1/3! = −0,06131
c₃ = −0,06131
Відповідь
c₃ = −0,06131
5.Матриці та визначники
Відповідь: det A = −102
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Мінори 2×2 першого рядка
M₁₁ = −23, M₁₂ = 11, M₁₃ = −9
Розклад за рядком
det A = 3·(−23) − 3·11 + 0·(−9) = −102
Відповідь
det A = −102
6.Матриці та визначники
Відповідь: λ = 6
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Характеристичне рівняння
λ² − (2)λ + (−24) = 0
Розв’яжіть
λ = (2 ± √(100))/2 → λ = −4, 6
λ = 6
Відповідь
λ = 6
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: y(1.5) = 0,1016
Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.
Подвійний корінь
(r + 4)² = 0 → r = −4
Сталі
A = y(0) = 5
y′(0) = B − 4A → B = 4 + 20 = 24
Обчисліть
y(1,5) = (5 + 24·1,5)·e−6 = 0,1016
Відповідь
y(1,5) = 0,1016
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: t = 35,67 min
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.