Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Наближено обчисліть ∫12 1/x dx за формулою трапецій, n = 4, і порівняйте з точним значенням. Знайдіть абсолютну похибку |E| = |T − I|.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]n = 4
|E| =
2.Чисельні методиСкладна
Виконайте один крок класичного методу Рунге–Кутти (RK4) з h = 0,5 для y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5. Знайдіть y₁ ≈ y(0,5).
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,5
y1 =
3.Послідовності та рядиСередня
Рівно один із чотирьох рядів розбігається. Клікніть його.
Функцію f(x) = sin x наближено в точці x = 2 многочленом Маклорена степеня n. За оцінкою Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = 1 знайдіть найменший степінь n, що гарантує похибку нижче за 0,0005.
f(x) = sin xx = 2M = 1ε = 0,0005
n =
5.Матриці та визначникиСередня
Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.
A = [5 3 3; −1 4 5; −1 5 3]
det A =
6.Матриці та визначникиСкладна
Розв'яжіть систему 2x − 3y = 11 і −4x + 3y = −8. Знайдіть x.
2x − 3y = 11−4x + 3y = −8
x =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Розв’яжіть y″ + 4y′ + 3y = 0 при y(0) = 4 і y′(0) = 4. Знайдіть y(1).
y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 4y′(0) = 4
y(1) =
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Бак містить 500 L води, у якій розчинено 20 kg солі. Розсіл із 0,05 kg солі на літр надходить зі швидкістю 2 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 10 min?
V = 500 Lm0 = 20 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: |E| = 0,003877
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Перевірте кожен ряд
A: Σ (k + 1)/k² → Для великих k поводиться як 1/k: розбігається за порівнянням із гармонічним рядом.
B: Σ (−1)ᵏ/k → Знакозмінний, із 1/k, що спадає до 0: збігається (умовно).
C: Σ k/5ᵏ → Ознака Даламбера: L = 1/5 < 1, збігається.
D: Σ 1/(k(k + 4)) → Менший за 1/k²: збігається за ознакою порівняння.
Відповідь
A: Σ (k + 1)/k²
Відповідь
A: Σ (k + 1)/k²
4.Послідовності та ряди
Відповідь: n = 9
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Оцінки для зростаючого n
n = 8: 0,001411 ≥ 0,0005
n = 9: 0,0002822 < 0,0005
Найменший степінь
n = 9
Відповідь
n = 9
5.Матриці та визначники
Відповідь: det A = −74
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Мінори 2×2 першого рядка
M₁₁ = −13, M₁₂ = 2, M₁₃ = −1
Розклад за рядком
det A = 5·(−13) − 3·2 + 3·(−1) = −74
Відповідь
det A = −74
6.Матриці та визначники
Відповідь: x = −1,5
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Визначник матриці коефіцієнтів
det A = 2·3 − (−3)·(−4) = −6
Замініть стовпець x
det Aₓ = 11·3 − (−3)·(−8) = 9
x = 9/(−6) = −1,5
Відповідь
x = −1,5
y = −4,667
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: y(1) = 2,744
Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.
Характеристичні корені
(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3
Сталі за початковими значеннями
A + B = 4, −1A − 3B = 4
A = 8, B = −4
Обчисліть
y(1) = 8·e−1 + (−4)·e−3 = 2,744
Відповідь
y(1) = 2,744
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: m = 20,2 kg
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Складіть рівняння
dm/dt = 2·0,05 − (2/500)·m = 0,1 − 0,004·m
Розв’яжіть
Інтегрувальний множник ert/V; розв’язок наближається до рівноважного c·V.