Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Наближено обчисліть ∫01,5 e−x² dx за формулою трапецій з n = 5 смугами. Дайте T.
f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1,5]n = 5
T =
2.Чисельні методиСкладна
Скористайтеся методом Ейлера з h = 0,25 для y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2, щоб оцінити y3 ≈ y(0,75).
y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,25
y3 =
3.Послідовності та рядиСередня
Рівно один із чотирьох рядів збігається. Клікніть його.
A: Σ 2ᵏ/k³B: Σ 3ᵏ/k!C: Σ 1/√kD: Σ ln k / k
1A: Σ 2ᵏ/k³
2B: Σ 3ᵏ/k!
3C: Σ 1/√k
4D: Σ ln k / k
4.Послідовності та рядиСкладна
Скористайтеся многочленом Маклорена степеня 2 для f(x) = 1/(1 − 2x), щоб наблизити f(−0,2). Дайте P₂(−0,2).
f(x) = 1/(1 − 2x)n = 2x = −0,2
P₂(−0.2) =
5.Матриці та визначникиСередня
Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.
A = [−5 −1 −5; −4 −4 0; −5 2 −5]
det A =
6.Матриці та визначникиСкладна
Розв'яжіть систему 3x + 3y = −6 і 3x + 5y = −3. Знайдіть x.
3x + 3y = −63x + 5y = −3
x =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Кувану сталеву деталь температурою 380 °C залишили остигати в цеху з температурою 23 °C. Через 42 min її температура становить 258 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 380 °CTa = 23 °CT(42) = 258 °C
k = min⁻¹
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Розв’яжіть задачу Коші y′ + y/x = 2x при x > 0, y(1) = 5. Знайдіть y(2).
y′ + y/x = 2xy(1) = 5
y(2) =
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: T = 0,8538
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Цей інтеграл не має елементарної первісної, і саме тоді потрібне чисельне правило.
2.Чисельні методи
Відповідь: y3 = 0,5781
Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.
Кроки Ейлера
y₁ = 0,2 + 0,25·(0,36) = 0,29
y₂ = 0,29 + 0,25·(0,4959) = 0,413975
y₃ = 0,413975 + 0,25·(0,656575) = 0,578119
Графік
y3 = 0,5781
Відповідь
y3 = 0,5781
Точне значення дорівнює y(0,75) = 0,664856.
3.Послідовності та ряди
Відповідь: B: Σ 3ᵏ/k!
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Перевірте кожен ряд
A: Σ 2ᵏ/k³ → Ознака Даламбера: L = 2 > 1, розбігається.
B: Σ 3ᵏ/k! → Ознака Даламбера: L = lim 3/(k + 1) = 0 < 1, збігається.
C: Σ 1/√k → p-ряд з p = 1/2 ≤ 1: розбігається.
D: Σ ln k / k → Більший за 1/k для k ≥ 3: розбігається за порівнянням із гармонічним рядом.
Відповідь
B: Σ 3ᵏ/k!
Відповідь
B: Σ 3ᵏ/k!
4.Послідовності та ряди
Відповідь: P₂(−0.2) = 0,76
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Многочлен Маклорена
P₂(x) = 1 + 2x + 4x²
Підставте
P₂(−0,2) = 1 − 0,4 + 0,16 = 0,76
Відповідь
P₂(−0,2) = 0,76
Точне значення дорівнює f(−0,2) = 0,714286; похибка −0,0457143 зменшується, якщо взяти більше членів або точку ближче до 0.
5.Матриці та визначники
Відповідь: det A = 60
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Мінори 2×2 першого рядка
M₁₁ = 20, M₁₂ = 20, M₁₃ = −28
Розклад за рядком
det A = (−5)·20 − (−1)·20 + (−5)·(−28) = 60
Відповідь
det A = 60
6.Матриці та визначники
Відповідь: x = −3,5
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Визначник матриці коефіцієнтів
det A = 3·5 − 3·3 = 6
Замініть стовпець x
det Aₓ = (−6)·5 − 3·(−3) = −21
x = −21/6 = −3,5
Відповідь
x = −3,5
y = 1,5
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: k = 0,009956 min⁻¹
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Відношення різниць температур
e−42k = 235/357
Розв’яжіть щодо k
k = ln(357/235)/42 = 0,009956 min⁻¹
Відповідь
k = 0,009956 min⁻¹
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: y(2) = 4,833
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.