Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Наближено обчисліть ∫01,5 1/√(1 + x⁴) dx за формулою Сімпсона з n = 2 смугами. Дайте S.
f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1,5]n = 2
S =
2.Чисельні методиСкладна
Розв’яжіть y′ = y − t², y(0) = −1 методом Ейлера з кроком h = 0,5 до t = 2. Точний розв’язок — y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Знайдіть глобальну похибку |E| = |y(2) − y4|.
y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,5
|E| =
3.Послідовності та рядиСередня
Застосуйте ознаку Даламбера до Σk=1∞ (k!)²·5ᵏ/(2k)!. Знайдіть L = lim |ak+1/ak|.
ak = (k!)²·5ᵏ/(2k)!
L =
4.Послідовності та рядиСкладна
Функцію f(x) = eˣ наближено в точці x = 2 многочленом Маклорена степеня n. За оцінкою Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = 8 знайдіть найменший степінь n, що гарантує похибку нижче за 0,0001.
f(x) = eˣx = 2M = 8ε = 0,0001
n =
5.Матриці та визначникиСередня
Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.
A = [2 −4 1; 1 2 −2; −2 3 −4]
det A =
6.Матриці та визначникиСкладна
Розв'яжіть систему −6x + y = 0 і −x + y = 6. Знайдіть x.
−6x + y = 0−x + y = 6
x =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Розв’яжіть y″ + 6y′ + 9y = 0 при y(0) = 5 і y′(0) = 0. Знайдіть y(1,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Бак містить 1000 L чистої води. Розсіл із 0,25 kg солі на літр надходить зі швидкістю 20 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 70 min?
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: S = 1,223
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Вузли та значення
h = 0,75
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,871576 + 0,406138 = 4,892441
Формула Сімпсона
S = (0,75/3)·4,892441 = 1,223
Відповідь
S = 1,223
Цей інтеграл не має елементарної первісної, і саме тоді потрібне чисельне правило.
2.Чисельні методи
Відповідь: |E| = 4,948
Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.
Кроки Ейлера
y4 = −7,21875
Точне значення
y(2) = −12,167168
Глобальна похибка
|E| = |−12,167168 + 7,21875| = 4,948
Графік
Відповідь
|E| = 4,948
Зменшення h удвічі приблизно вдвічі зменшує похибку методу Ейлера.
3.Послідовності та ряди
Відповідь: L = 1,25
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Відношення сусідніх членів
|ak+1/ak| = 5·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 5/4
Висновок
L = 1,25 > 1
Відповідь
L = 1,25
L > 1, тож ряд розбігається.
4.Послідовності та ряди
Відповідь: n = 11
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Оцінки для зростаючого n
n = 10: 0,0004105 ≥ 0,0001
n = 11: 6,841 × 10⁻⁵ < 0,0001
Найменший степінь
n = 11
Відповідь
n = 11
5.Матриці та визначники
Відповідь: det A = −29
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Мінори 2×2 першого рядка
M₁₁ = −2, M₁₂ = −8, M₁₃ = 7
Розклад за рядком
det A = 2·(−2) − (−4)·(−8) + 1·7 = −29
Відповідь
det A = −29
6.Матриці та визначники
Відповідь: x = 1,2
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Визначник матриці коефіцієнтів
det A = (−6)·1 − 1·(−1) = −5
Замініть стовпець x
det Aₓ = 0·1 − 1·6 = −6
x = −6/(−5) = 1,2
Відповідь
x = 1,2
y = 7,2
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: y(1.5) = 0,3055
Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.
Подвійний корінь
(r + 3)² = 0 → r = −3
Сталі
A = y(0) = 5
y′(0) = B − 3A → B = 0 + 15 = 15
Обчисліть
y(1,5) = (5 + 15·1,5)·e−4,5 = 0,3055
Відповідь
y(1,5) = 0,3055
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: m = 188,4 kg
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Складіть рівняння
dm/dt = 20·0,25 − (20/1000)·m = 5 − 0,02·m
Розв’яжіть
Інтегрувальний множник ert/V; розв’язок наближається до рівноважного c·V.