Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Наближено обчисліть ∫03 sin x dx за формулою трапецій, n = 4, і порівняйте з точним значенням. Знайдіть абсолютну похибку |E| = |T − I|.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 3]n = 4
|E| =
2.Чисельні методиСкладна
Скористайтеся методом Ейлера з h = 0,1 для y′ = −2ty, y(0) = −1, щоб оцінити y3 ≈ y(0,3).
y′ = −2tyy(0) = −1h = 0,1
y3 =
3.Послідовності та рядиСередня
Рівно один із чотирьох рядів збігається. Клікніть його.
A: Σ (1 + 1/k)ᵏB: Σ 3ᵏ/k!C: Σ (k + 5)/k²D: Σ 1/√k
1A: Σ (1 + 1/k)ᵏ
2B: Σ 3ᵏ/k!
3C: Σ (k + 5)/k²
4D: Σ 1/√k
4.Послідовності та рядиСкладна
Функцію f(x) = eˣ наближено многочленом Маклорена степеня 5 у точці x = 1,5. Скористайтеся оцінкою похибки Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = e1,5 = 4,482, щоб знайти найбільшу можливу похибку |R₅|.
f(x) = eˣn = 5x = 1,5M = 4,482
|R₅| =
5.Матриці та визначникиСередня
Нехай C = AB для поданих матриць. Знайдіть елемент c11 (рядок 1, стовпець 1).
A = [−5 5; 0 −5]B = [−6 2; 0 −6]
c11 =
6.Матриці та визначникиСкладна
Розв'яжіть систему x − y = −7 і 5x + 2y = 5. Знайдіть x.
x − y = −75x + 2y = 5
x =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Кувану сталеву деталь температурою 400 °C залишили остигати в цеху з температурою 29 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,03 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 22 min.
T0 = 400 °CTa = 29 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 22 min
T = °C
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Розв’яжіть y″ + y′ + 16,25y = 0 при y(0) = 1 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(0,75); кути в радіанах.
y″ + y′ + 16,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.75) =
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: |E| = 0,09417
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.
Кроки Ейлера
y₁ = −1 + 0,1·(0) = −1
y₂ = −1 + 0,1·(0,2) = −0,98
y₃ = −0,98 + 0,1·(0,392) = −0,9408
Графік
y3 = −0,9408
Відповідь
y3 = −0,9408
Точне значення дорівнює y(0,3) = −0,913931.
3.Послідовності та ряди
Відповідь: B: Σ 3ᵏ/k!
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Перевірте кожен ряд
A: Σ (1 + 1/k)ᵏ → Члени прямують до e, а не до 0: розбігається за необхідною умовою збіжності.
B: Σ 3ᵏ/k! → Ознака Даламбера: L = lim 3/(k + 1) = 0 < 1, збігається.
C: Σ (k + 5)/k² → Для великих k поводиться як 1/k: розбігається за порівнянням із гармонічним рядом.
D: Σ 1/√k → p-ряд з p = 1/2 ≤ 1: розбігається.
Відповідь
B: Σ 3ᵏ/k!
Відповідь
B: Σ 3ᵏ/k!
4.Послідовності та ряди
Відповідь: |R₅| = 0,0709
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Рядок на стовпець
c11 = (−5)·(−6) + 5·0 = 30
Відповідь
c11 = 30
6.Матриці та визначники
Відповідь: x = −1,286
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Визначник матриці коефіцієнтів
det A = 1·2 − (−1)·5 = 7
Замініть стовпець x
det Aₓ = (−7)·2 − (−1)·5 = −9
x = −9/7 = −1,286
Відповідь
x = −1,286
y = 5,714
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: T = 220,8 °C
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Розв’язок закону охолодження
T(t) = 29 + 371·e−0,03t
Підставте t
T(22) = 29 + 371·0,5169 = 220,8 °C
Відповідь
T = 220,8 °C
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: y(0.75) = −0,6683
Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.