Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Наближено обчисліть ∫02 e−x² dx за формулою Сімпсона з n = 2 смугами. Дайте S.
f(x) = e−x²[a, b] = [0, 2]n = 2
S =
2.Чисельні методиСкладна
Виконайте один крок класичного методу Рунге–Кутти (RK4) з h = 0,5 для y′ = t² + y², y(0) = 0,5. Знайдіть y₁ ≈ y(0,5).
y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,5
y1 =
3.Послідовності та рядиСередня
Застосуйте ознаку Даламбера до Σk=1∞ (k!)²·5ᵏ/(2k)!. Знайдіть L = lim |ak+1/ak|.
ak = (k!)²·5ᵏ/(2k)!
L =
4.Послідовності та рядиСкладна
Функцію f(x) = cos x наближено многочленом Маклорена степеня 5 у точці x = 1. Скористайтеся оцінкою похибки Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = 1, щоб знайти найбільшу можливу похибку |R₅|.
f(x) = cos xn = 5x = 1M = 1
|R₅| =
5.Матриці та визначникиСередня
Нехай C = AB для поданих матриць. Знайдіть елемент c22 (рядок 2, стовпець 2).
A = [−3 −3; −5 −4]B = [0 5; −3 −3]
c22 =
6.Матриці та визначникиСкладна
Розв'яжіть систему −x + 5y = −10 і −6x + 3y = 1. Знайдіть x.
−x + 5y = −10−6x + 3y = 1
x =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Розв’яжіть y″ + 6y′ + 9y = 0 при y(0) = 5 і y′(0) = 4. Знайдіть y(1).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = 4
y(1) =
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Система підпорядковується y″ + 4y′ + 20y = 100 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + 4y′ + 20y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: S = 0,8299
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Вузли та значення
h = 1
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,367879 + 0,0183156 = 2,489833
Формула Сімпсона
S = (1/3)·2,489833 = 0,8299
Відповідь
S = 0,8299
Цей інтеграл не має елементарної первісної, і саме тоді потрібне чисельне правило.
2.Чисельні методи
Відповідь: y1 = 0,716
Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Відношення сусідніх членів
|ak+1/ak| = 5·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 5/4
Висновок
L = 1,25 > 1
Відповідь
L = 1,25
L > 1, тож ряд розбігається.
4.Послідовності та ряди
Відповідь: |R₅| = 0,001389
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Рядок на стовпець
c22 = (−5)·5 + (−4)·(−3) = −13
Відповідь
c22 = −13
6.Матриці та визначники
Відповідь: x = −1,296
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Визначник матриці коефіцієнтів
det A = (−1)·3 − 5·(−6) = 27
Замініть стовпець x
det Aₓ = (−10)·3 − 5·1 = −35
x = −35/27 = −1,296
Відповідь
x = −1,296
y = −2,259
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: y(1) = 1,195
Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.
Подвійний корінь
(r + 3)² = 0 → r = −3
Сталі
A = y(0) = 5
y′(0) = B − 3A → B = 4 + 15 = 19
Обчисліть
y(1) = (5 + 19·1)·e−3 = 1,195
Відповідь
y(1) = 1,195
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: ymax = 6,039
Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.