Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Наближено обчисліть ∫01 e−x² dx за формулою Сімпсона з n = 6 смугами. Дайте S.
f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1]n = 6
S =
2.Чисельні методиСкладна
Виконайте один крок класичного методу Рунге–Кутти (RK4) з h = 0,2 для y′ = t² + y², y(0) = 1. Знайдіть y₁ ≈ y(0,2).
y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,2
y1 =
3.Послідовності та рядиСередня
Рівно один із чотирьох рядів збігається. Клікніть його.
Функцію f(x) = eˣ наближено в точці x = 0,5 многочленом Маклорена степеня n. За оцінкою Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = 2 знайдіть найменший степінь n, що гарантує похибку нижче за 1 × 10⁻⁵.
f(x) = eˣx = 0,5M = 2ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Матриці та визначникиСередня
Нехай C = AB для поданих матриць. Знайдіть елемент c11 (рядок 1, стовпець 1).
A = [4 1; −1 1]B = [−5 4; −4 3]
c11 =
6.Матриці та визначникиСкладна
Знайдіть більше власне значення λ поданої матриці A.
A = [−3 −1; −7 3]
λ =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Чашку кави температурою 80 °C залишили в кімнаті з температурою 19 °C. Через 14 min її температура становить 54 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 38 °C?
T0 = 80 °CTa = 19 °CT(14) = 54 °CT = 38 °C
t = min
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Бак містить 500 L води, у якій розчинено 20 kg солі. Розсіл із 0,2 kg солі на літр надходить зі швидкістю 10 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 15 min?
V = 500 Lm0 = 20 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: S = 0,7468
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Перевірте кожен ряд
A: Σ 1/(k(k + 4)) → Менший за 1/k²: збігається за ознакою порівняння.
B: Σ 3ᵏ/k³ → Ознака Даламбера: L = 3 > 1, розбігається.
C: Σ (1 + 1/k)ᵏ → Члени прямують до e, а не до 0: розбігається за необхідною умовою збіжності.
D: Σ 1/√k → p-ряд з p = 1/2 ≤ 1: розбігається.
Відповідь
A: Σ 1/(k(k + 4))
Відповідь
A: Σ 1/(k(k + 4))
4.Послідовності та ряди
Відповідь: n = 6
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Оцінки для зростаючого n
n = 5: 4,34 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 6: 3,1 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
Найменший степінь
n = 6
Відповідь
n = 6
5.Матриці та визначники
Відповідь: c11 = −24
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Рядок на стовпець
c11 = 4·(−5) + 1·(−4) = −24
Відповідь
c11 = −24
6.Матриці та визначники
Відповідь: λ = 4
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Характеристичне рівняння
λ² − (0)λ + (−16) = 0
Розв’яжіть
λ = (0 ± √(64))/2 → λ = −4, 4
λ = 4
Відповідь
λ = 4
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: t = 29,4 min
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Стала охолодження
k = ln(61/35)/14 = 0,03968 min⁻¹
Час до досягнення цільової температури
t = ln(61/19)/0,03968 = 29,4 min
Відповідь
t = 29,4 min
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: m = 40,73 kg
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Складіть рівняння
dm/dt = 10·0,2 − (10/500)·m = 2 − 0,02·m
Розв’яжіть
Інтегрувальний множник ert/V; розв’язок наближається до рівноважного c·V.