Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Наближено обчисліть ∫02 eˣ dx за формулою трапецій, n = 2, і порівняйте з точним значенням. Знайдіть абсолютну похибку |E| = |T − I|.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
2.Чисельні методиСкладна
Розв’яжіть y′ = 2y, y(0) = 3 методом Ейлера з кроком h = 0,5 до t = 2. Точний розв’язок — y = y₀e2t. Знайдіть глобальну похибку |E| = |y(2) − y4|.
y′ = 2yy(0) = 3h = 0,5
|E| =
3.Послідовності та рядиСередня
Рівно один із чотирьох рядів збігається. Клікніть його.
Впізнайте ряд і знайдіть його суму: S = Σk=0∞ 3ᵏ/k!.
ak = 3ᵏ/k!
S =
5.Матриці та визначникиСередня
Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.
A = [5 −1 −5; −5 5 1; −4 −5 −2]
det A =
6.Матриці та визначникиСкладна
Розв'яжіть систему −2x + 4y = 1 і 5x + 5y = 10. Знайдіть x.
−2x + 4y = 15x + 5y = 10
x =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Чашку кави температурою 84 °C залишили в кімнаті з температурою 22 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,06 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 9 min.
T0 = 84 °CTa = 22 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 9 min
T = °C
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Бак містить 100 L води, у якій розчинено 20 kg солі. Розсіл із 0,25 kg солі на літр надходить зі швидкістю 5 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 40 min?
V = 100 Lm0 = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: |E| = 0,5238
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Точне значення
I = 6,389056
Формула трапецій
T = (1/2)·(1 + 2·2,718282 + 7,389056) = 6,91281
Похибка
|E| = |6,91281 − 6,389056| = 0,5238
Відповідь
|E| = 0,5238
Відносна похибка: 8,198 %.
2.Чисельні методи
Відповідь: |E| = 115,8
Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.
Кроки Ейлера
y4 = 48
Точне значення
y(2) = 163,79445
Глобальна похибка
|E| = |163,79445 − 48| = 115,8
Графік
Відповідь
|E| = 115,8
Зменшення h удвічі приблизно вдвічі зменшує похибку методу Ейлера.
3.Послідовності та ряди
Відповідь: D: Σ 3ᵏ/k!
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Перевірте кожен ряд
A: Σ ln k / k → Більший за 1/k для k ≥ 3: розбігається за порівнянням із гармонічним рядом.
B: Σ (5k + 1)/(k + 2) → Члени прямують до 5, а не до 0: розбігається за необхідною умовою збіжності.
C: Σ (5/4)ᵏ → Геометричний з r = 5/4 > 1: члени зростають, тож ряд розбігається.
D: Σ 3ᵏ/k! → Ознака Даламбера: L = lim 3/(k + 1) = 0 < 1, збігається.
Відповідь
D: Σ 3ᵏ/k!
Відповідь
D: Σ 3ᵏ/k!
4.Послідовності та ряди
Відповідь: S = 20,09
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Стандартні ряди
Σ xᵏ/k! = eˣ
Підставте
x = 3
S = e3 = 20,09
Відповідь
S = 20,09
5.Матриці та визначники
Відповідь: det A = −236
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Мінори 2×2 першого рядка
M₁₁ = −5, M₁₂ = 14, M₁₃ = 45
Розклад за рядком
det A = 5·(−5) − (−1)·14 + (−5)·45 = −236
Відповідь
det A = −236
6.Матриці та визначники
Відповідь: x = 1,167
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Визначник матриці коефіцієнтів
det A = (−2)·5 − 4·5 = −30
Замініть стовпець x
det Aₓ = 1·5 − 4·10 = −35
x = −35/(−30) = 1,167
Відповідь
x = 1,167
y = 0,8333
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: T = 58,13 °C
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Розв’язок закону охолодження
T(t) = 22 + 62·e−0,06t
Підставте t
T(9) = 22 + 62·0,5827 = 58,13 °C
Відповідь
T = 58,13 °C
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: m = 24,32 kg
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Складіть рівняння
dm/dt = 5·0,25 − (5/100)·m = 1,25 − 0,05·m
Розв’яжіть
Інтегрувальний множник ert/V; розв’язок наближається до рівноважного c·V.