Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Наближено обчисліть ∫01 √(1 + x³) dx за формулою Сімпсона з n = 6 смугами. Дайте S.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 6
S =
2.Чисельні методиСкладна
Скористайтеся методом Хойна (вдосконаленим методом Ейлера) з h = 0,1 для y′ = e−ty, y(0) = 0,5, щоб оцінити y2 ≈ y(0,2).
y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,1
y2 =
3.Послідовності та рядиСередня
Знайдіть суму S = Σk=1∞ 4/(k(k + 4)).
ak = 4/(k(k + 4))
S =
4.Послідовності та рядиСкладна
Функцію f(x) = eˣ наближено в точці x = 2 многочленом Маклорена степеня n. За оцінкою Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = 8 знайдіть найменший степінь n, що гарантує похибку нижче за 1 × 10⁻⁵.
f(x) = eˣx = 2M = 8ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Матриці та визначникиСередня
Нехай C = AB для поданих матриць. Знайдіть елемент c11 (рядок 1, стовпець 1).
A = [−5 3; −2 −6]B = [−6 4; 1 −4]
c11 =
6.Матриці та визначникиСкладна
Розв'яжіть систему −5x − 6y = −1 і −5x − 2y = 8. Знайдіть x.
−5x − 6y = −1−5x − 2y = 8
x =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Чашку кави температурою 81 °C залишили в кімнаті з температурою 18 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,09 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 16 min.
T0 = 81 °CTa = 18 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 16 min
T = °C
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Бак містить 1000 L води, у якій розчинено 5 kg солі. Розсіл із 0,05 kg солі на літр надходить зі швидкістю 5 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 90 min?
V = 1000 Lm0 = 5 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: S = 1,111
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Простіші дроби
4/(k(k + 4)) = (4/4)·(1/k − 1/(k + 4))
Скасувати
S = (4/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 2,083
Відповідь
S = 2,083
4.Послідовності та ряди
Відповідь: n = 13
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Оцінки для зростаючого n
n = 12: 1,052 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 13: 1,503 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
Найменший степінь
n = 13
Відповідь
n = 13
5.Матриці та визначники
Відповідь: c11 = 33
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Рядок на стовпець
c11 = (−5)·(−6) + 3·1 = 33
Відповідь
c11 = 33
6.Матриці та визначники
Відповідь: x = −2,5
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Визначник матриці коефіцієнтів
det A = (−5)·(−2) − (−6)·(−5) = −20
Замініть стовпець x
det Aₓ = (−1)·(−2) − (−6)·8 = 50
x = 50/(−20) = −2,5
Відповідь
x = −2,5
y = 2,25
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: T = 32,93 °C
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Розв’язок закону охолодження
T(t) = 18 + 63·e−0,09t
Підставте t
T(16) = 18 + 63·0,2369 = 32,93 °C
Відповідь
T = 32,93 °C
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: m = 21,31 kg
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Складіть рівняння
dm/dt = 5·0,05 − (5/1000)·m = 0,25 − 0,005·m
Розв’яжіть
Інтегрувальний множник ert/V; розв’язок наближається до рівноважного c·V.