Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Наближено обчисліть ∫02 sin(x²) dx за формулою Сімпсона з n = 2 смугами. Дайте S.
f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 2]n = 2
S =
2.Чисельні методиСкладна
Скористайтеся методом Ейлера з h = 0,25 для y′ = t − y, y(0) = 3, щоб оцінити y5 ≈ y(1,25).
y′ = t − yy(0) = 3h = 0,25
y5 =
3.Послідовності та рядиСередня
Рівно один із чотирьох рядів розбігається. Клікніть його.
A: Σ (7/4)ᵏB: Σ (−1)ᵏ/√kC: Σ 3/k³D: Σ 1/(3ᵏ + k)
1A: Σ (7/4)ᵏ
2B: Σ (−1)ᵏ/√k
3C: Σ 3/k³
4D: Σ 1/(3ᵏ + k)
4.Послідовності та рядиСкладна
Знайдіть коефіцієнт c₄ при (x − 2)⁴ у ряді Тейлора функції f(x) = ln x у точці a = 2.
f(x) = ln xa = 2k = 4
c₄ =
5.Матриці та визначникиСередня
Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.
A = [−4 −1 3; 4 −5 1; 1 4 0]
det A =
6.Матриці та визначникиСкладна
Розв'яжіть систему x − 5y = −1 і −5x − y = 0. Знайдіть x.
x − 5y = −1−5x − y = 0
x =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Банку газованого напою температурою 4 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 24 °C. Через 17 min її температура становить 15 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 8 °C?
T0 = 4 °CTa = 24 °CT(17) = 15 °CT = 8 °C
t = min
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Бак містить 100 L чистої води. Розсіл із 0,05 kg солі на літр надходить зі швидкістю 4 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Через скільки хвилин t бак міститиме 2 kg солі?
V = 100 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min
t = min
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: S = 0,8697
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Вузли та значення
h = 1
Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,841471 − 0,756802 = 2,609081
Формула Сімпсона
S = (1/3)·2,609081 = 0,8697
Відповідь
S = 0,8697
Цей інтеграл не має елементарної первісної, і саме тоді потрібне чисельне правило.
2.Чисельні методи
Відповідь: y5 = 1,199
Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.
Кроки Ейлера
y₁ = 3 + 0,25·(−3) = 2,25
y₂ = 2,25 + 0,25·(−2) = 1,75
y₃ = 1,75 + 0,25·(−1,25) = 1,4375
y₄ = 1,4375 + 0,25·(−0,6875) = 1,265625
y₅ = 1,265625 + 0,25·(−0,265625) = 1,199219
Графік
y5 = 1,199
Відповідь
y5 = 1,199
Точне значення дорівнює y(1,25) = 1,396019.
3.Послідовності та ряди
Відповідь: A: Σ (7/4)ᵏ
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Перевірте кожен ряд
A: Σ (7/4)ᵏ → Геометричний з r = 7/4 > 1: члени зростають, тож ряд розбігається.
B: Σ (−1)ᵏ/√k → Знакозмінний, із 1/√k, що спадає до 0: збігається (умовно).
C: Σ 3/k³ → p-ряд з p = 3 > 1: збігається.
D: Σ 1/(3ᵏ + k) → Менший за (1/3)ᵏ, збіжний геометричний ряд: збігається за ознакою порівняння.
Відповідь
A: Σ (7/4)ᵏ
Відповідь
A: Σ (7/4)ᵏ
4.Послідовності та ряди
Відповідь: c₄ = −0,01563
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Похідна f⁽⁴⁾
f⁽⁴⁾(x) = −6/x⁴
Коефіцієнт
c₄ = f⁽⁴⁾(2)/4! = −6/(2⁴·24) = −0,01563
c₄ = −0,01563
Відповідь
c₄ = −0,01563
5.Матриці та визначники
Відповідь: det A = 78
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Мінори 2×2 першого рядка
M₁₁ = −4, M₁₂ = −1, M₁₃ = 21
Розклад за рядком
det A = (−4)·(−4) − (−1)·(−1) + 3·21 = 78
Відповідь
det A = 78
6.Матриці та визначники
Відповідь: x = −0,03846
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Визначник матриці коефіцієнтів
det A = 1·(−1) − (−5)·(−5) = −26
Замініть стовпець x
det Aₓ = (−1)·(−1) − (−5)·0 = 1
x = 1/(−26) = −0,03846
Відповідь
x = −0,03846
y = 0,1923
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: t = 4,751 min
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Стала охолодження
k = ln(-20/-9)/17 = 0,04697 min⁻¹
Час до досягнення цільової температури
t = ln(-20/(−16))/0,04697 = 4,751 min
Відповідь
t = 4,751 min
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: t = 12,77 min
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.