Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Наближено обчисліть ∫01,5 e−x² dx за формулою трапецій з n = 5 смугами. Дайте T.
f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1,5]n = 5
T =
2.Чисельні методиСкладна
Скористайтеся методом Ейлера з h = 0,5 для y′ = y(2 − y), y(0) = 1, щоб оцінити y5 ≈ y(2,5).
y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,5
y5 =
3.Послідовності та рядиСередня
Знайдіть радіус збіжності R степеневого ряду Σk=1∞ 4ᵏx²ᵏ/k.
Σ 4ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0
R =
4.Послідовності та рядиСкладна
Скористайтеся многочленом Маклорена степеня 5 для f(x) = sin x, щоб наблизити f(2). Дайте P₅(2).
f(x) = sin xn = 5x = 2
P₅(2) =
5.Матриці та визначникиСередня
Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.
A = [4 −4 1; 2 −5 1; −2 −2 −3]
det A =
6.Матриці та визначникиСкладна
Розв'яжіть систему −5x + 2y = 6 і 4x + y = −7. Знайдіть x.
−5x + 2y = 64x + y = −7
x =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Кувану сталеву деталь температурою 420 °C залишили остигати в цеху з температурою 21 °C. Через 31 min її температура становить 136 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 56 °C?
T0 = 420 °CTa = 21 °CT(31) = 136 °CT = 56 °C
t = min
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Система підпорядковується y″ + 2y′ + 10y = 10 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(1,5); кути в радіанах.
y″ + 2y′ + 10y = 10y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: T = 0,8538
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Цей інтеграл не має елементарної первісної, і саме тоді потрібне чисельне правило.
2.Чисельні методи
Відповідь: y5 = 2
Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.
Кроки Ейлера
y₁ = 1 + 0,5·(1) = 1,5
y₂ = 1,5 + 0,5·(0,75) = 1,875
y₃ = 1,875 + 0,5·(0,234375) = 1,992188
y₄ = 1,992188 + 0,5·(0,015564) = 1,999969
y₅ = 1,999969 + 0,5·(0,0000610342) = 2
Графік
y5 = 2
Відповідь
y5 = 2
Точне значення дорівнює y(2,5) = 1,986614.
3.Послідовності та ряди
Відповідь: R = 0,5
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Коефіцієнти
Ряд за x²: він збігається для 4·x² < 1, тож |x| < 1/2.
Радіус
R = 0,5
Відповідь
R = 0,5
Ознака Даламбера нічого не каже в двох кінцевих точках; їх треба перевіряти окремо.
4.Послідовності та ряди
Відповідь: P₅(2) = 0,9333
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Многочлен Маклорена
P₅(x) = x − 0,1667x³ + 0,008333x⁵
Підставте
P₅(2) = 2 − 1,333333 + 0,266667 = 0,9333
Відповідь
P₅(2) = 0,9333
Точне значення дорівнює f(2) = 0,909297; похибка −0,0240359 зменшується, якщо взяти більше членів або точку ближче до 0.
5.Матриці та визначники
Відповідь: det A = 38
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Мінори 2×2 першого рядка
M₁₁ = 17, M₁₂ = −4, M₁₃ = −14
Розклад за рядком
det A = 4·17 − (−4)·(−4) + 1·(−14) = 38
Відповідь
det A = 38
6.Матриці та визначники
Відповідь: x = −1,538
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Визначник матриці коефіцієнтів
det A = (−5)·1 − 2·4 = −13
Замініть стовпець x
det Aₓ = 6·1 − 2·(−7) = 20
x = 20/(−13) = −1,538
Відповідь
x = −1,538
y = −0,8462
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: t = 60,64 min
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Стала охолодження
k = ln(399/115)/31 = 0,04013 min⁻¹
Час до досягнення цільової температури
t = ln(399/35)/0,04013 = 60,64 min
Відповідь
t = 60,64 min
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: y(1.5) = 1,12
Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.