Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 108 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 0,8 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 7 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 108 km/ht_r = 0,8 sa = −7 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 8 m/s з краю даху на висоті 30 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 8 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 20 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 20 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 8 kg на похилій площині з кутом 25° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 8,5 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 8 kgm₂ = 8,5 kgθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 16 m/s під кутом 25° над горизонталлю в бік стіни на відстані 6 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 16 m/sθ = 25°x = 6 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 13 m/s під кутом 60° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 10 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 13 m/sθ = 60°h = 10 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Рух по колуСередня

Інженер-дорожник хоче, щоб автомобілі проходили поворот радіусом 260 m зі швидкістю 90 km/h без опори на тертя. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть кут нахилу полотна θ.

r = 260 mv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,9 kg на нитці завдовжки 0,8 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 4 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,9 kgr = 0,8 mv = 4 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 1000 N/m. На неї кладуть кульку 0,05 kg, стискають пружину на 6 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,05 kgk = 1000 N/mx = 6 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 2500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2,5 kgh = 3,5 mL = 3 mμ = 0,3k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 1,5 kg, що рухається зі швидкістю 5 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 2,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 1,5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,55 kg ударяється об стіну зі швидкістю 14 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 7 m/s. Контакт триває 50 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,55 kgv_in = 14 m/sv_out = 7 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 3,9 kg на пружині з k = 70 N/m відтягують на 6 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 1 s (зі знаком).

m = 3,9 kgk = 70 N/mA = 6 cmt = 1 s

x = cm

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,2 kg на пружині з k = 370 N/m відтягують на 10 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 0,2 kgk = 370 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Одна машина дає рівень звуку 75 дБ у певній точці. Знайдіть рівень β у цій точці, коли одночасно працюють 4 однакових машин (некогерентні джерела).

β₁ = 75 dBn = 4

β = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Ґратка з 600 лініями на міліметр показує максимум порядку 2 спектральної лінії під кутом 41,3° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 600 mm⁻¹θ₂ = 41,3°m = 2

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 88,29 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 30·0,8 = 24 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·7) = 64,29 m

Разом

d = 24 + 64,29 = 88,29 m

Відповідь

d = 88,29 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,42 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−30 = 8·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 8·t − 30 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (8 + √(8² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,42 s

Відповідь

t = 3,42 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,433 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 20° − 0,1·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,09397) = 2,433 m/s²

Відповідь

a = 2,433 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 61,18 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж нитки

m₂·g = 83,39 N

m₁·g·sin θ = 33,17 N

μ·m₁·g·cos θ = 7,113 N

Прискорення системи

a = (83,39 − 33,17 − 7,113)/16,5 = 2,612 m/s²

Сила натягу з рівняння для підвішеного вантажу

m₂·g − T = m₂·a → T = 8,5·(9,81 − 2,612) = 61,18 N

Відповідь

T = 61,18 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 1,958 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 16·cos 25° = 14,5 m/s

t = x/v_x = 6/14,5 = 0,4138 s

Висота в цей момент

y = 6,762·0,4138 − ½·9,81·0,4138² = 1,958 m

Відповідь

y = 1,958 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 70,12 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 13·cos 60° = 6,5 m/s

v_y0 = 13·sin 60° = 11,26 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(11,26² + 2·9,81·10) = 17,97 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 17,97/6,5 → α = 70,12°

Відповідь

α = 70,12°

7.Рух по колу

Відповідь: θ = 13,77 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Одиниці

v = 90/3,6 = 25 m/s

Кут нахилу полотна

tan θ = v²/(r·g) = 25²/(260·9,81) = 0,245

θ = 13,77°

Відповідь

θ = 13,77°

8.Рух по колу

Відповідь: T = 26,83 N

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,9·9,81 + 0,9·4²/0,8 = 8,829 + 18 = 26,83 N

Відповідь

T = 26,83 N

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 3,67 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 6 cm = 0,06 m

½kx² = ½·1000·0,06² = 1,8 J

Висота

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 1,8/0,4905 = 3,67 m

Відповідь

h = 3,67 m

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 22,59 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(3,5 − 0,3·3) = 63,77 J

Найбільше стиснення

½kx² = 63,77 → x = √(2·63,77/2500) = 0,2259 m = 22,59 cm

Відповідь

x = 22,59 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = −1,25 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (1,5 − 2,5)/(1,5 + 2,5)·5 = −1,25 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 2,5)·5 = 3,75 m/s

Відповідь

v′₁ = −1,25 m/s

Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 11,55 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,55·(7 + 14) = 11,55 N·s

Відповідь

J = 11,55 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: x = −2,748 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(70/3,9) = 4,237 rad/s

ω·t = 4,237·1 = 4,237 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 6·cos(4,237) = −2,748 cm

Відповідь

x = −2,748 cm

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 185 m/s²

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(370/0,2) = 43,01 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,1·43,01² = 185 m/s²

Відповідь

a_max = 185 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β = 81,02 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Загальна інтенсивність

I = 4·I₁

Рівень

β = 75 + 10·log₁₀(4) = 81,02 dB

Відповідь

β = 81,02 dB

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 550 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 1,667 × 10⁻⁶·sin 41,3°/2 = 550 nm

Відповідь

λ = 550 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics