Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 60 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,1 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 60 km/ht_r = 1,1 sa = −4 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 20 m/s з краю даху на висоті 40 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 20 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 16 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 16 kgθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 45 N тягне передній брусок масою 7 kg; брусок масою 1 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,15. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.

m₁ = 1 kgm₂ = 7 kgF = 45 Nμ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 30 m/s під кутом 60° над горизонталлю в бік стіни на відстані 24 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 30 m/sθ = 60°x = 24 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 19 m/s під кутом 15° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 60 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v, з якою він ударяється об землю.

v₀ = 19 m/sθ = 15°h = 60 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 60 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 60 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,2 kg на нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 7,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,2 kgr = 1,5 mv = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 2 m вздовж площини.

θ = 45°μ = 0,2d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 15 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 30° і його тягнуть угору сталою силою 215 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 7 m угору схилом.

m = 15 kgF = 215 Nθ = 30°μ = 0,25d = 7 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1400 kg, що рухається зі швидкістю 9 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 600 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 1400 kgv₁ = 9 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 4 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 0,7 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 15° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 4 kgL = 0,7 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 0,5 kg на пружині з k = 290 N/m відтягують на 10 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 0,4 s (зі знаком).

m = 0,5 kgk = 290 N/mA = 10 cmt = 0,4 s

x = cm

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,6 kg на пружині з k = 260 N/m відтягують на 11 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 1,6 kgk = 260 N/mA = 11 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 90 дБ на відстані 2 м від нього. Знайдіть рівень β₂ на відстані 4 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.

β₁ = 90 dBr₁ = 2 mr₂ = 4 m

β₂ = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 30 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 15 см і лінза 2 з f₂ = −15 см. Предмет стоїть на відстані 40 см перед лінзою 1. Знайдіть положення d_i2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).

f₁ = 15 cmf₂ = −15 cms = 30 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 53,06 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 16,67·1,1 = 18,33 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·4) = 34,72 m

Разом

d = 18,33 + 34,72 = 53,06 m

Відповідь

d = 53,06 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 5,547 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−40 = 20·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 20·t − 40 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (20 + √(20² + 2·9,81·40))/9,81 = 5,547 s

Відповідь

t = 5,547 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,368 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0,2·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1813) = 2,368 m/s²

Відповідь

a = 2,368 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 5,625 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (45 − 11,77)/8 = 4,154 m/s²

Лише задній брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 1·(4,154 + 1,472) = 5,625 N

Відповідь

T = 5,625 N

За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 29,01 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 30·cos 60° = 15 m/s

t = x/v_x = 24/15 = 1,6 s

Висота в цей момент

y = 25,98·1,6 − ½·9,81·1,6² = 29,01 m

Відповідь

y = 29,01 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v = 39,22 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 19·cos 15° = 18,35 m/s

v_y0 = 19·sin 15° = 4,918 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(4,918² + 2·9,81·60) = 34,66 m/s

Швидкість у момент удару

v = √(18,35² + 34,66²) = 39,22 m/s

Відповідь

v = 39,22 m/s

Перевірка через енергію: v² = v₀² + 2gh.

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 17,16 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·60) = 17,16 m/s

Відповідь

v_max = 17,16 m/s (61,76 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 9,462 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,2·9,81 + 0,2·7,5²/1,5 = 1,962 + 7,5 = 9,462 N

Відповідь

T = 9,462 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,711 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·2·(0,7071 − 0,2·0,7071)) = 4,711 m/s

Відповідь

v = 4,711 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 10,11 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 15·9,81 = 147,2 N

mg·sin θ = 73,57 N

μ·mg·cos θ = 31,86 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (215 − 105,4)·7 = 767 J

v = √(2·767/15) = 10,11 m/s

Відповідь

v = 10,11 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 17010 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·9/2000 = 6,3 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1400·9² = 56700 J

K_after = ½·2000·6,3² = 39690 J

Втрачена енергія

ΔK = 56700 − 39690 = 17010 J

Відповідь

ΔK = 17010 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 342,7 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,7·(1 − cos 15°) = 0,02385 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,02385) = 0,6841 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 4,008·0,6841/0,008 = 342,7 m/s

Відповідь

v = 342,7 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: x = −9,783 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(290/0,5) = 24,08 rad/s

ω·t = 24,08·0,4 = 9,633 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 10·cos(9,633) = −9,783 cm

Відповідь

x = −9,783 cm

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 1,573 J

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(260/1,6) = 12,75 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·260·0,11² = 1,573 J

Відповідь

E = 1,573 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β₂ = 83,98 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Відношення інтенсивностей

I₂/I₁ = (2/4)² = 0,25

Новий рівень

β₂ = 90 + 10·log₁₀(0,25) = 83,98 dB

Відповідь

β₂ = 83,98 dB

Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i2 = −4,286 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Зображення від лінзи 1

1/d_i1 = 1/15 − 1/40 → d_i1 = 24 cm

Предмет для лінзи 2

d_o2 = 30 − 24 = 6 cm

Кінцеве зображення

1/d_i2 = 1/(−15) − 1/6 → d_i2 = −4,286 cm

Відповідь

d_i2 = −4,286 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics