Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 2 m/s². Знайдіть його швидкість v через 2000 m.

v₀ = 0a = 2 m/s²s = 2000 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 16 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 16 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 11 m/s і зупиняється, пройшовши 62 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 11 m/sd = 62 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 4 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 4 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 34 m/s, і він має впасти на відстані 40 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 34 m/sR = 40 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 11 m/s під кутом 20° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 55 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 11 m/sθ = 20°h = 55 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 0,4 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 45° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 0,4 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,3 kg на нитці завдовжки 0,7 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 6,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,3 kgr = 0,7 mv = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 5 m вздовж площини.

θ = 35°μ = 0,3d = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 2000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 1 kgh = 3 mL = 4 mμ = 0,1k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2,5 kg, що рухається зі швидкістю 5 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,5 kg ударяється об стіну зі швидкістю 30 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 7 m/s. Контакт триває 40 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,5 kgv_in = 30 m/sv_out = 7 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,6 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,6 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 100 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 12 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 10 cm від положення рівноваги.

k = 100 N/mA = 12 cmx = 10 cm

U = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Світло всередині прозорого блока повністю відбивається на межі із середовищем «гліцерин» (n = 1,47) для будь-якого кута падіння понад 30°. Знайдіть показник заломлення n₁ блока.

θ_c = 30°n₂ = 1,47

n₁ =

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 40 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 12 см і лінза 2 з f₂ = 12 см. Предмет стоїть на відстані 18 см перед лінзою 1. Знайдіть положення d_i2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).

f₁ = 12 cmf₂ = 12 cms = 40 cmd_o = 18 cm

d_i2 = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 89,44 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·2·2000) = 89,44 m/s

Відповідь

v = 89,44 m/s

(322 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: t = 4,227 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−20 = 16·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 16·t − 20 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (16 + √(16² + 2·9,81·20))/9,81 = 4,227 s

Відповідь

t = 4,227 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,09947

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 11²/(2·62) = 0,9758 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,9758/9,81 = 0,09947

Відповідь

μ = 0,09947

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,962 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 11,77)/6,5 = 1,962 m/s²

Відповідь

a = 1,962 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 9,922 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·40/34² = 0,3394

Кут

2θ = 19,84° → θ = 9,922°

Відповідь

θ = 9,922°

Інший розв’язок 90° − θ = 80,08°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 55,72 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 11·sin 20° = 3,762 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 3,762²/(2·9,81) = 0,7214 m

Висота над землею

H = 55 + 0,7214 = 55,72 m

Відповідь

H = 55,72 m

7.Рух по колу

Відповідь: T = 1,067 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 0,4·sin 45° = 0,2828 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,2828·9,81·tan 45°) = 1,666 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·0,2828/1,666 = 1,067 s

Відповідь

T = 1,067 s

8.Рух по колу

Відповідь: T = 91,22 N

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,3·9,81 + 1,3·6,5²/0,7 = 12,75 + 78,46 = 91,22 N

Відповідь

T = 91,22 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,671 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·5·(0,5736 − 0,3·0,8192)) = 5,671 m/s

Відповідь

v = 5,671 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 7,142 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(3 − 0,1·4) = 25,51 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,6) = 7,142 m/s

Відповідь

v = 7,142 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = −0,4545 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2,5 − 3)/(2,5 + 3)·5 = −0,4545 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 3)·5 = 4,545 m/s

Відповідь

v′₁ = −0,4545 m/s

Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 18,5 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,5·(7 + 30) = 18,5 N·s

Відповідь

J = 18,5 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,6361 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,6/2π)² = 0,6361 m

Відповідь

L = 0,6361 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: U = 0,5 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·100·0,12² = 0,72 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·100·0,1² = 0,5 J

Відповідь

U = 0,5 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: n₁ = 2,94

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Показник заломлення блока

n₁ = n₂/sin θc = 1,47/0,5 = 2,94

Відповідь

n₁ = 2,94

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i2 = −6 cm

Зображення від лінзи 1

1/d_i1 = 1/12 − 1/18 → d_i1 = 36 cm

Предмет для лінзи 2

d_o2 = 40 − 36 = 4 cm

Кінцеве зображення

1/d_i2 = 1/12 − 1/4 → d_i2 = −6 cm

Відповідь

d_i2 = −6 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics