Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 54 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 54 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 3 m/s² протягом 6 s, потім їде зі сталою швидкістю 14 s і нарешті гальмує з прискоренням 3,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 6 st₂ = 14 sa₃ = −3,5 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 20 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 20 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 25° зі швидкістю 5,5 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 5,5 m/sθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 20 m/s під кутом 45° над горизонталлю в бік стіни на відстані 29 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 20 m/sθ = 45°x = 29 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 10 m/s під кутом 45° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 5 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 10 m/sθ = 45°h = 5 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 115 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,6. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 115 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,9 kg на нитці завдовжки 0,6 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 6,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,9 kgr = 0,6 mv = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 4 kg ковзає 10 m похилою площиною під кутом 15° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,1. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 4 kgθ = 15°μ = 0,1d = 10 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 14 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 4 m. Знайдіть швидкість v візка у верхній точці петлі.

m = 2 kgh = 14 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3,5 kg, що рухається зі швидкістю 8 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 5 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,3 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 15° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 5 gM = 1,5 kgL = 1,3 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 1,7 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 1,7 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 8 g, що летить зі швидкістю 100 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 2,5 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 300 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 8 gv = 100 m/sM = 2,5 kgk = 300 N/m

A = cm

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, закрита з одного кінця: довжина 1 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₅ для моди «гармоніка номер 5».

v = 343 m/sn = 5L = 1 m

f₅ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,46 і оболонку з n₂ = 1,45. Знайдіть найбільший кут θ_a до осі волокна, під яким світло з повітря може увійти в торець волокна й усе одно направлятися повним внутрішнім відбиттям.

n₁ = 1,46n₂ = 1,45n₀ = 1,00

θ_a = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 14,06 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·8) = 14,06 m

Відповідь

s = 14,06 m

2.Кінематика

Відповідь: s = 352,3 m

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 3·6 = 18 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·3·6² = 54 m

s₂ = 18·14 = 252 m

s₃ = 18²/(2·3,5) = 46,29 m

Повна відстань

s = 54 + 252 + 46,29 = 352,3 m

Відповідь

s = 352,3 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,972 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 20° − 0,15·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,141) = 1,972 m/s²

Відповідь

a = 1,972 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 2,22 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 25° + 0,3·cos 25°) = 6,813 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 5,5²/(2·6,813) = 2,22 m

Відповідь

d = 2,22 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 8,374 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Час до стіни

v_x = 20·cos 45° = 14,14 m/s

t = x/v_x = 29/14,14 = 2,051 s

Висота в цей момент

y = 14,14·2,051 − ½·9,81·2,051² = 8,374 m

Відповідь

y = 8,374 m

Біля стіни м’яч уже падає.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 59,84 °

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 10·cos 45° = 7,071 m/s

v_y0 = 10·sin 45° = 7,071 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(7,071² + 2·9,81·5) = 12,17 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 12,17/7,071 → α = 59,84°

Відповідь

α = 59,84°

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 26,02 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·115) = 26,02 m/s

Відповідь

v_max = 26,02 m/s (93,66 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 152,4 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,9·9,81 + 1,9·6,5²/0,6 = 18,64 + 133,8 = 152,4 N

Відповідь

T = 152,4 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 37,9 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 39,24·0,9659 = 37,9 N

F = μN = 0,1·37,9 = 3,79 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 3,79·10 = 37,9 J

Відповідь

W_f = 37,9 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 10,85 m/s

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(14 − 8) = 117,7 m²/s²

v = 10,85 m/s

Відповідь

v = 10,85 m/s

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 0,6154 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3,5 − 3)/(3,5 + 3)·8 = 0,6154 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 3)·8 = 8,615 m/s

Відповідь

v′₁ = 0,6154 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 280,6 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,3·(1 − cos 15°) = 0,0443 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,0443) = 0,9323 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 1,505·0,9323/0,005 = 280,6 m/s

Відповідь

v = 280,6 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,616 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(1,7/9,81) = 2,616 s

Відповідь

T = 2,616 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: A = 2,917 cm

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,008·100/2,508 = 0,319 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(300/2,508) = 10,94 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 0,319/10,94 = 0,02917 m = 2,917 cm

Відповідь

A = 2,917 cm

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₅ = 428,8 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 4L/n = 4·1/5 = 0,8 m

Частота

f = v/λ = 343/0,8 = 428,8 Hz

Відповідь

f₅ = 428,8 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_a = 9,822 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,45/1,46 = 0,9932 → θc = 83,29°

Числова апертура

NA = √(1,46² − 1,45²) = 0,1706

Кут прийому

θ_a = arcsin(0,1706) = 9,822°

Відповідь

θ_a = 9,822°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics