Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 72 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,2 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 72 km/ht_r = 1,2 sa = −8 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 20 m/s з краю даху на висоті 15 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 20 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 2 m/s і зупиняється, пройшовши 1 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 2 m/sd = 1 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 2 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 50° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 22 m/sθ = 50°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з вершини скелі висотою 60 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 10 m/sθ = 55°h = 60 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 70 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,8. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 70 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 150 m має нахил полотна 12°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу швидкість v_min, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вниз по нахилу.

r = 150 mθ = 12°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 5 kg висить на легкій нитці завдовжки 2 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 30° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 5 kgL = 2 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,15). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 4 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 2,5 m.

m₁ = 10 kgm₂ = 4 kgμ = 0,15d = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 1 kg, що рухається зі швидкістю 5 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 1 kgm₂ = 4 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,5 kg ударяється об стіну зі швидкістю 17 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 5 m/s. Контакт триває 40 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,5 kgv_in = 17 m/sv_out = 5 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,3 kg на пружині з k = 120 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 8 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 4 cm від положення рівноваги.

m = 1,3 kgk = 120 N/mA = 8 cmx = 4 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,3 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 80 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max вантажу.

m = 2,3 kgk = 80 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,8 м, хвилі поширюються зі швидкістю 240 м/с. Знайдіть частоту f₁ для моди «основна частота (перша гармоніка)».

v = 240 m/sn = 1L = 0,8 m

f₁ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 10 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 12 см і лінза 2 з f₂ = −10 см. Предмет стоїть на відстані 50 см перед лінзою 1. Знайдіть положення d_i2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).

f₁ = 12 cmf₂ = −10 cms = 10 cmd_o = 50 cm

d_i2 = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 49 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 20·1,2 = 24 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·8) = 25 m

Разом

d = 24 + 25 = 49 m

Відповідь

d = 49 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 35,39 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 20²/(2·9,81) = 20,39 m

Висота над землею

h_max = 15 + 20,39 = 35,39 m

Відповідь

h_max = 35,39 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,2039

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 2²/(2·1) = 2 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2/9,81 = 0,2039

Відповідь

μ = 0,2039

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 14,98 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 6,867)/5,5 = 2,319 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3,5·2,319 + 6,867 = 14,98 N

Відповідь

T = 14,98 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,436 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 50° = 14,14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 50° = 16,85 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·16,85/9,81 = 3,436 s

Відповідь

t = 3,436 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 25,41 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 55° = 5,736 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 55° = 8,192 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 60 + 8,192·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,192 + √(67,1 + 1177))/9,81 = 4,431 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 5,736·4,431 = 25,41 m

Відповідь

x = 25,41 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 23,44 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·70) = 23,44 m/s

Відповідь

v_max = 23,44 m/s (84,38 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 12,73 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вгору схилом.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(150·9,81·0,1101/0,9989) = 12,73 m/s

Відповідь

v_min = 12,73 m/s

(45,85 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 62,19 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 30°) = 5,257 m²/s²

Сили внизу

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

T = mg + mv²/L = 49,05 + 5·5,257/2 = 62,19 N

Відповідь

T = 62,19 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 62,19 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 2,96 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 39,24·2,5 = 98,1 J

μ·m₁g·d = 0,15·98,1·2,5 = 36,79 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 61,31 → v = √(2·61,31/14) = 2,96 m/s

Відповідь

v = 2,96 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 2 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (1 − 4)/(1 + 4)·5 = −3 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4)·5 = 2 m/s

Відповідь

v′₂ = 2 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 11 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,5·(5 + 17) = 11 N·s

Відповідь

J = 11 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,6656 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(120/1,3) = 9,608 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 9,608·√(0,08² − 0,04²) = 0,6656 m/s

Відповідь

v = 0,6656 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 1,663 m/s

Положення рівноваги й амплітуда

x₀ = m·g/k = 2,3·9,81/80 = 0,282 m = A

Найбільша швидкість

Швидкість найбільша в положенні рівноваги.

ω = √(80/2,3) = 5,898 rad/s

v_max = A·ω = 0,282·5,898 = 1,663 m/s

Відповідь

v_max = 1,663 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₁ = 150 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,8/1 = 1,6 m

Частота

f = v/λ = 240/1,6 = 150 Hz

Відповідь

f₁ = 150 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i2 = 13,75 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Зображення від лінзи 1

1/d_i1 = 1/12 − 1/50 → d_i1 = 15,79 cm

Предмет для лінзи 2

d_o2 = 10 − 15,79 = −5,789 cm

Кінцеве зображення

1/d_i2 = 1/(−10) − 1/(−5,789) → d_i2 = 13,75 cm

Відповідь

d_i2 = 13,75 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics