Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 180 km/h, а довжина злітної смуги 1900 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 180 km/hs = 1900 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 20 m/s² протягом 3 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 20 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 4 kg ковзає вниз гладкою похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 4 kgθ = 45°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 20 N тягне передній брусок масою 6 kg; брусок масою 5 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.

m₁ = 5 kgm₂ = 6 kgF = 20 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 20 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 10 m/s під кутом 70° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 45 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 10 m/sθ = 70°h = 45 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 55 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 55 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,9 kg на легкій нитці завдовжки 0,7 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 8,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,9 kgr = 0,7 mv_bottom = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 0,5 kg ковзає 4 m похилою площиною під кутом 30° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,1. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 0,5 kgθ = 30°μ = 0,1d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 800 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 1 kgh = 3 mL = 2 mμ = 0,25k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 2000 kg, що рухається зі швидкістю 14 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 2000 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?

m₁ = 2000 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1700 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1700 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 6,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,75. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1700 kgm₂ = 1700 kgd = 6,5 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 0,7 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 0,7 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 3,5 kg на пружині з k = 430 N/m відтягують на 12 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 3,5 kgk = 430 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: гармоніка номер 3 має становити 643 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть довжину L труби.

v = 343 m/sn = 3f₃ = 643 Hz

L = m

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві щілини на відстані 0,2 мм одна від одної освітлено монохроматичним світлом. На екрані на відстані 2,5 м світла смуга номер 4 лежить на 24 мм від центральної смуги. Знайдіть довжину хвилі λ.

d = 0,2 mmL = 2,5 my₄ = 24 mmm = 4

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 0,6579 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 180/3,6 = 50 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 50²/(2·1900) = 0,6579 m/s²

Відповідь

a = 0,6579 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 273,5 m

Активна ділянка

v₁ = 20·3 = 60 m/s

h₁ = ½·20·3² = 90 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 60²/(2·9,81) = 183,5 m

h_max = 90 + 183,5 = 273,5 m

Відповідь

h_max = 273,5 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 6,937 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0) = 6,937 m/s²

Відповідь

a = 6,937 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 9,091 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (20 − 10,79)/11 = 0,8372 m/s²

Лише задній брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(0,8372 + 0,981) = 9,091 N

Відповідь

T = 9,091 N

За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 13,68 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 55° = 11,47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 55° = 16,38 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 16,38²/(2·9,81) = 13,68 m

Відповідь

H = 13,68 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 49,5 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 10·sin 70° = 9,397 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 9,397²/(2·9,81) = 4,501 m

Висота над землею

H = 45 + 4,501 = 49,5 m

Відповідь

H = 49,5 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 16,42 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·55) = 16,42 m/s

Відповідь

v_max = 16,42 m/s (59,13 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 102,9 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 8,5² − 4·9,81·0,7 = 44,78 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,9·44,78/0,7 − 1,9·9,81 = 102,9 N

Відповідь

T_top = 102,9 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 1,699 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 4,905·0,866 = 4,248 N

F = μN = 0,1·4,248 = 0,4248 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 0,4248·4 = 1,699 J

Відповідь

W_f = 1,699 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 24,76 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(3 − 0,25·2) = 24,53 J

Найбільше стиснення

½kx² = 24,53 → x = √(2·24,53/800) = 0,2476 m = 24,76 cm

Відповідь

x = 24,76 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK/K = 50 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·14/4000 = 7 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·2000·14² = 196000 J

K_after = ½·4000·7² = 98000 J

Втрачена частка

ΔK/K = 98000/196000 = 50 %

Відповідь

ΔK/K = 50 %

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 19,56 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·6,5) = 9,78 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3400·9,78/1700 = 19,56 m/s

Відповідь

v₁ = 19,56 m/s

(70,42 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 1,678 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(0,7/9,81) = 1,678 s

Відповідь

T = 1,678 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 14,74 m/s²

Кутова частота

ω = √(430/3,5) = 11,08 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,12·11,08² = 14,74 m/s²

Відповідь

a_max = 14,74 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: L = 0,8002 m

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 343/643 = 0,5334 m

Довжина

L = nλ/2 = 3·0,5334/2 = 0,8002 m

Відповідь

L = 0,8002 m

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 480 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = y·d/(mL) = 0,024·0,0002/(4·2,5) = 4,8 × 10⁻⁷ m = 480 nm

Відповідь

λ = 480 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics