Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 54 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 54 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 35 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 17 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Коли кульки зустрінуться? Знайдіть t.

H = 35 mv_0B = 17 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 10,5 m/s і зупиняється, пройшовши 37 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 10,5 m/sd = 37 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 40 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 12 m/s під кутом 45° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 15 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 12 m/sθ = 45°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль масою 800 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 17 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 45 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 800 kgv = 17 m/sr = 45 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 200 m має нахил полотна 10°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 200 mθ = 10°μ_s = 0,25g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,35. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 14 m вздовж площини.

θ = 25°μ = 0,35d = 14 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2 kgh = 1 mL = 3,5 mμ = 0,1k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3,5 kg, що рухається зі швидкістю 6 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 12 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 3,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,6 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 35° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 12 gM = 3,5 kgL = 1,6 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,4 kg на пружині з k = 160 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 6 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 4 cm від положення рівноваги.

m = 1,4 kgk = 160 N/mA = 6 cmx = 4 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 4 s і амплітудою 7 cm. За який найменший час t воно переміститься з положення рівноваги до зміщення 5,6 cm?

T = 4 sA = 7 cmx = 5,6 cm

t = s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,8 м, хвилі поширюються зі швидкістю 120 м/с. Знайдіть частоту f₄ для моди «гармоніка номер 4».

v = 120 m/sn = 4L = 0,8 m

f₄ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 50 см перед увігнуте дзеркалом із радіусом кривини 50 см. Знайдіть відстань до зображення d_i: додатну для зображення перед дзеркалом (дійсного) і від’ємну для зображення за ним (уявного).

d_o = 50 cmR = 50 cm

d_i = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 32,14 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·3,5) = 32,14 m

Відповідь

s = 32,14 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 2,059 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

35 − ½g·t² = 17·t − ½g·t² → t = 35/17 = 2,059 s

Відповідь

t = 2,059 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,1519

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 10,5²/(2·37) = 1,49 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,49/9,81 = 0,1519

Відповідь

μ = 0,1519

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,101 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 3,924)/5 = 5,101 m/s²

Відповідь

a = 5,101 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 7,062 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 60° = 20 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 60° = 34,64 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·34,64/9,81 = 7,062 s

Відповідь

t = 7,062 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 18,67 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 12·sin 45° = 8,485 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 8,485²/(2·9,81) = 3,67 m

Висота над землею

H = 15 + 3,67 = 18,67 m

Відповідь

H = 18,67 m

7.Рух по колу

Відповідь: N = 2710 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r

N = 800·9,81 − 800·17²/45 = 7848 − 5138 = 2710 N

Відповідь

N = 2710 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 29,58 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(200·9,81·0,4199/0,9414) = 29,58 m/s

Відповідь

v_max = 29,58 m/s

(106,5 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,381 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·14·(0,4226 − 0,35·0,9063)) = 5,381 m/s

Відповідь

v = 5,381 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 22,59 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 19,62·(1 − 0,1·3,5) = 12,75 J

Найбільше стиснення

½kx² = 12,75 → x = √(2·12,75/500) = 0,2259 m = 22,59 cm

Відповідь

x = 22,59 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 4,941 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3,5 − 5)/(3,5 + 5)·6 = −1,059 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 5)·6 = 4,941 m/s

Відповідь

v′₂ = 4,941 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 697,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,6·(1 − cos 35°) = 0,2894 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,2894) = 2,383 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 3,512·2,383/0,012 = 697,3 m/s

Відповідь

v = 697,3 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,4781 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(160/1,4) = 10,69 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 10,69·√(0,06² − 0,04²) = 0,4781 m/s

Відповідь

v = 0,4781 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,5903 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/4 = 1,571 rad/s

Виразіть час

0,8 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,8) = 0,9273 rad

t = 0,9273/1,571 = 0,5903 s

Відповідь

t = 0,5903 s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₄ = 300 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,8/4 = 0,4 m

Частота

f = v/λ = 120/0,4 = 300 Hz

Відповідь

f₄ = 300 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = 50 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Фокусна відстань

f = R/2 = 25 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/50

d_i = 50 cm

Хід променів

дійсне зображення перед дзеркалом

Відповідь

d_i = 50 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics