Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 108 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,1 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 108 km/ht_r = 1,1 sa = −8 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 5 m/s з краю даху на висоті 5 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 5 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 7 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 7 kgθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 25° зі швидкістю 4 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 4 m/sθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 38 m/s, і він має впасти на відстані 85 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 38 m/sR = 85 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 35° до горизонту з вершини скелі висотою 5 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 16 m/sθ = 35°h = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 40 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 40 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 90 m має нахил полотна 25°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 90 mθ = 25°μ_s = 0,25g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 19 m вздовж площини.

θ = 25°μ = 0,2d = 19 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 8 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 25° і його тягнуть угору сталою силою 75 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 3 m угору схилом.

m = 8 kgF = 75 Nθ = 25°μ = 0,25d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 20 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 2,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 19 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 20 gM = 2,5 kgh = 19 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1600 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1200 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 13 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1600 kgm₂ = 1200 kgd = 13 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 3,5 kg на пружині з k = 290 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 7 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 2 cm від положення рівноваги.

m = 3,5 kgk = 290 N/mA = 7 cmx = 2 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 410 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 14 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 8 cm від положення рівноваги.

k = 410 N/mA = 14 cmx = 8 cm

U = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: гармоніка номер 3 має становити 686 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть довжину L труби.

v = 343 m/sn = 3f₃ = 686 Hz

L = m

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 405 нм падає під прямим кутом на ґратку з 600 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₃ максимуму порядку 3.

N = 600 mm⁻¹λ = 405 nmm = 3

θ₃ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 89,25 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 30·1,1 = 33 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·8) = 56,25 m

Разом

d = 33 + 56,25 = 89,25 m

Відповідь

d = 89,25 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 1,641 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−5 = 5·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 5·t − 5 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (5 + √(5² + 2·9,81·5))/9,81 = 1,641 s

Відповідь

t = 1,641 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,631 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,15·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1299) = 3,631 m/s²

Відповідь

a = 3,631 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 1,174 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 25° + 0,3·cos 25°) = 6,813 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·6,813) = 1,174 m

Відповідь

d = 1,174 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 17,64 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·85/38² = 0,5775

Кут

2θ = 35,27° → θ = 17,64°

Відповідь

θ = 17,64°

Інший розв’язок 90° − θ = 72,36°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 2,312 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 35° = 13,11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 35° = 9,177 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 5 + 9,177·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,177 + √(84,22 + 98,1))/9,81 = 2,312 s

Відповідь

t = 2,312 s

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 16,57 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·40) = 16,57 m/s

Відповідь

v_max = 16,57 m/s (59,66 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 26,76 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(90·9,81·0,6492/0,8007) = 26,76 m/s

Відповідь

v_max = 26,76 m/s

(96,32 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 9,485 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·19·(0,4226 − 0,2·0,9063)) = 9,485 m/s

Відповідь

v = 9,485 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,247 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 8·9,81 = 78,48 N

mg·sin θ = 33,17 N

μ·mg·cos θ = 17,78 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (75 − 50,95)·3 = 72,15 J

v = √(2·72,15/8) = 4,247 m/s

Відповідь

v = 4,247 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 243,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,19) = 1,931 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 2,5)·1,931/0,02 = 243,3 m/s

Відповідь

v = 243,3 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 25 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·13) = 14,28 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·14,28/1600 = 25 m/s

Відповідь

v₁ = 25 m/s

(89,99 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,6106 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(290/3,5) = 9,103 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 9,103·√(0,07² − 0,02²) = 0,6106 m/s

Відповідь

v = 0,6106 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: U = 1,312 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·410·0,14² = 4,018 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·410·0,08² = 1,312 J

Відповідь

U = 1,312 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: L = 0,75 m

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 343/686 = 0,5 m

Довжина

L = nλ/2 = 3·0,5/2 = 0,75 m

Відповідь

L = 0,75 m

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₃ = 46,8 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/600 mm = 1,667 × 10⁻⁶ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 3·405 × 10⁻⁹/(1,667 × 10⁻⁶) = 0,729

θ = 46,8°

Відповідь

θ₃ = 46,8°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics