Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 72 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 72 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 10 m/s з краю даху на висоті 35 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 10 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 10 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 10 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 40° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 18 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з вершини скелі висотою 15 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 15 m/sθ = 55°h = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 1,1 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 50° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кульки.

L = 1,1 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1 kg на легкій нитці завдовжки 1,3 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 11,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1 kgr = 1,3 mv_bottom = 11,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,35. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 16 m вздовж площини.

θ = 35°μ = 0,35d = 16 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 800 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 0,5 kgh = 4,5 mL = 3 mμ = 0,25k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 11 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 30 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 2 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 82 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 9 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 11 kgu = 30 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 82 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 900 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1200 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 21 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,75. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 900 kgm₂ = 1200 kgd = 21 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,1 kg на пружині з k = 330 N/m відтягують на 15 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його швидкість v при t = 0,2 s (зі знаком).

m = 1,1 kgk = 330 N/mA = 15 cmt = 0,2 s

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 290 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 11 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 7 cm від положення рівноваги.

k = 290 N/mA = 11 cmx = 7 cm

U = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: довжина 0,75 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₂ для моди «гармоніка номер 2».

v = 343 m/sn = 2L = 0,75 m

f₂ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 450 нм падає під прямим кутом на ґратку з 300 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₂ максимуму порядку 2.

N = 300 mm⁻¹λ = 450 nmm = 2

θ₂ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 26,67 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·7,5) = 26,67 m

Відповідь

s = 26,67 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,879 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−35 = 10·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 10·t − 35 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (10 + √(10² + 2·9,81·35))/9,81 = 3,879 s

Відповідь

t = 3,879 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,055 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,1·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,0866) = 4,055 m/s²

Відповідь

a = 4,055 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 17,52 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 4,905)/7 = 6,306 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·6,306 + 4,905 = 17,52 N

Відповідь

T = 17,52 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 32,53 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 40° = 13,79 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 40° = 11,57 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·11,57/9,81 = 2,359 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 13,79·2,359 = 32,53 m

Відповідь

x = 32,53 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,404 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 55° = 8,604 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 55° = 12,29 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 15 + 12,29·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12,29 + √(151 + 294,3))/9,81 = 3,404 s

Відповідь

t = 3,404 s

7.Рух по колу

Відповідь: v = 3,139 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 1,1·sin 50° = 0,8426 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,8426·9,81·tan 50°) = 3,139 m/s

Відповідь

v = 3,139 m/s

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 52,68 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 11,5² − 4·9,81·1,3 = 81,24 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1·81,24/1,3 − 1·9,81 = 52,68 N

Відповідь

T_top = 52,68 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 9,49 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·16·(0,5736 − 0,35·0,8192)) = 9,49 m/s

Відповідь

v = 9,49 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 8,578 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 4,905·(4,5 − 0,25·3) = 18,39 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,75) = 8,578 m/s

Відповідь

v = 8,578 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 18,44 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 11·30 = 330 kg·m/s

Імпульс після удару

330 = 2·82 + 9·v′₂

v′₂ = (330 − 164)/9 = 18,44 m/s

Відповідь

v′₂ = 18,44 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 41,02 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·21) = 17,58 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2100·17,58/900 = 41,02 m/s

Відповідь

v₁ = 41,02 m/s

(147,7 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,8235 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(330/1,1) = 17,32 rad/s

ω·t = 17,32·0,2 = 3,464 rad

Швидкість

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,15·17,32·sin(3,464) = 0,8235 m/s

Відповідь

v = 0,8235 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: U = 0,7105 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·290·0,11² = 1,754 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·290·0,07² = 0,7105 J

Відповідь

U = 0,7105 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₂ = 457,3 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,75/2 = 0,75 m

Частота

f = v/λ = 343/0,75 = 457,3 Hz

Відповідь

f₂ = 457,3 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₂ = 15,66 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/300 mm = 3,333 × 10⁻⁶ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 2·450 × 10⁻⁹/(3,333 × 10⁻⁶) = 0,27

θ = 15,66°

Відповідь

θ₂ = 15,66°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics