Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 50 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 50 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 17 m/s з краю даху на висоті 5 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 17 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 4,5 m/s і зупиняється, пройшовши 6,9 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 4,5 m/sd = 6,9 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2 kg на похилій площині з кутом 40° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 6,5 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 2 kgm₂ = 6,5 kgθ = 40°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 24 m/s, і він має впасти на відстані 25 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 24 m/sR = 25 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з вершини скелі висотою 55 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 30 m/sθ = 60°h = 55 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль масою 800 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 17 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 85 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 800 kgv = 17 m/sr = 85 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 34,4 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 8 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_top траси на візок у верхній точці петлі.

m = 4 kgh = 34,4 mR = 8 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 800 kg піднімається схилом 8° зі сталою швидкістю 90 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 600 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 800 kgθ = 8°F_r = 600 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 20 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 20° і його тягнуть угору сталою силою 185 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 2 m угору схилом.

m = 20 kgF = 185 Nθ = 20°μ = 0,25d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1600 kg, що рухається зі швидкістю 19 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1600 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?

m₁ = 1600 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,2 kg ударяється об стіну зі швидкістю 30 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 12 m/s. Контакт триває 10 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,2 kgv_in = 30 m/sv_out = 12 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,9 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,2 kg на пружині з k = 70 N/m відтягують на 18 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 0,2 kgk = 70 N/mA = 18 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 40 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 25 см. Знайдіть відстань до зображення d_i. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для розсіювальної лінзи, d_i < 0 для уявного зображення).

d_o = 40 cmf = 25 cm

d_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві щілини на відстані 0,2 мм одна від одної освітлено монохроматичним світлом. На екрані на відстані 2,5 м світла смуга номер 1 лежить на 7,362 мм від центральної смуги. Знайдіть довжину хвилі λ.

d = 0,2 mmL = 2,5 my₁ = 7,362 mmm = 1

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 3,472 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13,89/4 = 3,472 s

Відповідь

t = 3,472 s

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 19,73 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9,81) = 14,73 m

Висота над землею

h_max = 5 + 14,73 = 19,73 m

Відповідь

h_max = 19,73 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,1496

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 4,5²/(2·6,9) = 1,467 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,467/9,81 = 0,1496

Відповідь

μ = 0,1496

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,841 m/s²

Сили вздовж нитки

m₂·g = 63,77 N

m₁·g·sin θ = 12,61 N

μ·m₁·g·cos θ = 1,503 N

Прискорення системи

a = (63,77 − 12,61 − 1,503)/8,5 = 5,841 m/s²

Відповідь

a = 5,841 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 12,6 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·25/24² = 0,4258

Кут

2θ = 25,2° → θ = 12,6°

Відповідь

θ = 12,6°

Інший розв’язок 90° − θ = 77,4°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 6,918 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 60° = 15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 60° = 25,98 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 55 + 25,98·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (25,98 + √(675 + 1079))/9,81 = 6,918 s

Відповідь

t = 6,918 s

7.Рух по колу

Відповідь: N = 5128 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r

N = 800·9,81 − 800·17²/85 = 7848 − 2720 = 5128 N

Відповідь

N = 5128 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: N_top = 141,3 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·(34,4 − 2·8) = 361 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R − m·g = 4·361/8 − 39,24 = 141,3 N

Відповідь

N_top = 141,3 N

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 42,31 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 800·9,81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 8° = 1092 N

F = 1092 + 600 = 1692 N

Потужність

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 1692·25 = 42306 W = 42,31 kW

Відповідь

P = 42,31 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 3,79 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 20·9,81 = 196,2 N

mg·sin θ = 67,1 N

μ·mg·cos θ = 46,09 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (185 − 113,2)·2 = 143,6 J

v = √(2·143,6/20) = 3,79 m/s

Відповідь

v = 3,79 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK/K = 50 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·19/3200 = 9,5 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1600·19² = 288800 J

K_after = ½·3200·9,5² = 144400 J

Втрачена частка

ΔK/K = 144400/288800 = 50 %

Відповідь

ΔK/K = 50 %

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 840 N

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,2·(12 + 30) = 8,4 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 8,4/0,01 = 840 N

Відповідь

F_avg = 840 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 2,09 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,9/2π)² = 2,09 m

Відповідь

L = 2,09 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 63 m/s²

Кутова частота

ω = √(70/0,2) = 18,71 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,18·18,71² = 63 m/s²

Відповідь

a_max = 63 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = 66,67 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/40

d_i = 66,67 cm

Хід променів

дійсне, з іншого боку лінзи

Відповідь

d_i = 66,67 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 589 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = y·d/(mL) = 0,007362·0,0002/(1·2,5) = 5,89 × 10⁻⁷ m = 589 nm

Відповідь

λ = 589 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics