Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 80 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 80 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 11 m/s з краю даху на висоті 30 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 11 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 11 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 11 kgθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 130 N тягне передній брусок масою 3 kg; брусок масою 9 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a брусків.

m₁ = 9 kgm₂ = 3 kgF = 130 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 30 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 24 m/s під кутом 60° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 40 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 24 m/sθ = 60°h = 40 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 80 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,8. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 80 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 250 m має нахил полотна 15°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 250 mθ = 15°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2 kg ковзає 13 m похилою площиною під кутом 15° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,1. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2 kgθ = 15°μ = 0,1d = 13 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 2000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 4 kgh = 3,5 mL = 4 mμ = 0,25k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 1,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 7 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 1,5 kgh = 7 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1200 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1200 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 17,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,6. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1200 kgm₂ = 1200 kgd = 17,5 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 1,4 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 1,4 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,3 kg на пружині з k = 220 N/m відтягують на 20 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 2,3 kgk = 220 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Одна машина дає рівень звуку 65 дБ у певній точці. Знайдіть рівень β у цій точці, коли одночасно працюють 10 однакових машин (некогерентні джерела).

β₁ = 65 dBn = 10

β = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дифракційна ґратка має 100 ліній на міліметр. Світло з довжиною хвилі 600 нм падає на неї під прямим кутом. Який найвищий порядок m_max світлого максимуму можна побачити?

N = 100 mm⁻¹λ = 600 nm

m_max =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 30,86 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·8) = 30,86 m

Відповідь

s = 30,86 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,837 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−30 = 11·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 11·t − 30 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (11 + √(11² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,837 s

Відповідь

t = 3,837 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,216 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 35° − 0,3·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,2457) = 3,216 m/s²

Відповідь

a = 3,216 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 9,852 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (130 − 11,77)/12 = 9,852 m/s²

Відповідь

a = 9,852 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 2,585 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 25° = 27,19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 25° = 12,68 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·12,68/9,81 = 2,585 s

Відповідь

t = 2,585 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 62,02 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 24·sin 60° = 20,78 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 20,78²/(2·9,81) = 22,02 m

Висота над землею

H = 40 + 22,02 = 62,02 m

Відповідь

H = 62,02 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 25,06 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·80) = 25,06 m/s

Відповідь

v_max = 25,06 m/s (90,2 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 30,45 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(250·9,81·0,3554/0,94) = 30,45 m/s

Відповідь

v_max = 30,45 m/s

(109,6 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 24,64 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 19,62·0,9659 = 18,95 N

F = μN = 0,1·18,95 = 1,895 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 1,895·13 = 24,64 J

Відповідь

W_f = 24,64 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 31,32 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 39,24·(3,5 − 0,25·4) = 98,1 J

Найбільше стиснення

½kx² = 98,1 → x = √(2·98,1/2000) = 0,3132 m = 31,32 cm

Відповідь

x = 31,32 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 118,4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,07) = 1,172 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 1,5)·1,172/0,015 = 118,4 m/s

Відповідь

v = 118,4 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 28,71 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·17,5) = 14,35 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2400·14,35/1200 = 28,71 m/s

Відповідь

v₁ = 28,71 m/s

(103,3 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,374 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(1,4/9,81) = 2,374 s

Відповідь

T = 2,374 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 19,13 m/s²

Кутова частота

ω = √(220/2,3) = 9,78 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,2·9,78² = 19,13 m/s²

Відповідь

a_max = 19,13 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β = 75 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Загальна інтенсивність

I = 10·I₁

Рівень

β = 65 + 10·log₁₀(10) = 75 dB

Відповідь

β = 75 dB

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m_max = 16

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/100 mm = 10 µm

Найвищий порядок

m ≤ d/λ = 10 µm/0,6 µm = 16,67 → m_max = 16

Відповідь

m_max = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics