Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 20 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 2 m/s². Скільки часу знадобиться поліцейському автомобілю, щоб наздогнати порушника? Знайдіть t.
М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 12 m/s з краю даху на висоті 40 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.
Ящик масою 20 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 25° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.
Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 140 N тягне передній брусок масою 1 kg; брусок масою 4 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a брусків.
М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 24 m/s під кутом 60° над горизонталлю в бік стіни на відстані 15 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?
М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 33 m/s під кутом 45° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 16 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.
В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 2,2 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу кутову швидкість ω у rad/s.
Кульку на нитці завдовжки 0,8 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості vmin у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?
Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 3 m вздовж площини.
Брусок масою 10 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2,5 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 1500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.
Візок масою 1 kg, що рухається зі швидкістю 5 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′1 першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).
Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,5 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 15° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.
Вантаж масою 2 kg на пружині з k = 260 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 14 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 6 cm від положення рівноваги.
Куля масою 20 g, що летить зі швидкістю 100 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 0,5 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 800 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.
Світло поширюється в середовищі «алмаз» (n = 2,42) до плоскої межі із середовищем «повітря» (n = 1,00). Знайдіть критичний кут θc, за яким воно повністю відбивається.
Дві щілини на відстані 0,15 мм одна від одної освітлено монохроматичним світлом. На екрані на відстані 3 м світла смуга номер 2 лежить на 25,32 мм від центральної смуги. Знайдіть довжину хвилі λ.
Відповідь: t = 20 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 40 m/s.
Відповідь: t = 4,33 s
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.
Фізичний зміст має лише додатний корінь.
Відповідь: F = 118,5 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Стала швидкість: сили зрівноважені.
Відповідь: a = 25,06 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Відповідь: y = 18,32 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Біля стіни м’яч ще піднімається.
Відповідь: x = 91,62 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Більший корінь: м’яч опускається.
Відповідь: ω = 3,855 rad/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Відповідь: vmin = 2,801 m/s
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Відповідь: v = 5,948 m/s
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.
Відповідь: v = 8,137 m/s
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.
Відповідь: v′1 = −3,182 m/s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.
Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.
Відповідь: v = 626,9 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Відповідь: v = 1,442 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Відповідь: A = 9,806 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Відповідь: θc = 24,41 °
Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.
Відповідь: λ = 633 nm
Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics