Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 120 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 120 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 15 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 11 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Коли кульки зустрінуться? Знайдіть t.

H = 15 mv_0B = 11 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 16 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 16 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 2 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 45° над горизонталлю, і він падає на відстані 25 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 45°R = 25 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 24 m/s під кутом 40° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 15 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 24 m/sθ = 40°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 35 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 35 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 100 m має нахил полотна 30°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 100 mθ = 30°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 1 kg ковзає 10 m похилою площиною під кутом 45° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,35. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 1 kgθ = 45°μ = 0,35d = 10 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2,5 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 800 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 1 kgh = 3,5 mL = 2,5 mμ = 0,15k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 5 kg, що рухається зі швидкістю 6 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 2,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,25 kg ударяється об стіну зі швидкістю 21 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 18 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,25 kgv_in = 21 m/sv_out = 18 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,8 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,5 kg на пружині з k = 400 N/m відтягують на 10 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 1,5 kgk = 400 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Мала гучномовна колонка випромінює звукову потужність 2 Вт однаково в усіх напрямках. Знайдіть рівень інтенсивності звуку β на відстані 8 м.

P = 2 Wr = 8 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 10 см перед увігнуте дзеркалом із радіусом кривини 30 см. Знайдіть відстань до зображення d_i: додатну для зображення перед дзеркалом (дійсного) і від’ємну для зображення за ним (уявного).

d_o = 10 cmR = 30 cm

d_i = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 158,7 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·3,5) = 158,7 m

Відповідь

s = 158,7 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 1,364 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

15 − ½g·t² = 11·t − ½g·t² → t = 15/11 = 1,364 s

Відповідь

t = 1,364 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,433 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 20° − 0,1·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,09397) = 2,433 m/s²

Відповідь

a = 2,433 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 18,59 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 14,71)/9,5 = 0,5163 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7,5·0,5163 + 14,71 = 18,59 N

Відповідь

T = 18,59 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 15,66 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·25/sin 90°) = 15,66 m/s

Відповідь

v₀ = 15,66 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 27,13 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 24·sin 40° = 15,43 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 15,43²/(2·9,81) = 12,13 m

Висота над землею

H = 15 + 12,13 = 27,13 m

Відповідь

H = 27,13 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 11,72 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·35) = 11,72 m/s

Відповідь

v_max = 11,72 m/s (42,19 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 35,31 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(100·9,81·0,8464/0,666) = 35,31 m/s

Відповідь

v_max = 35,31 m/s

(127,1 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 24,28 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 9,81·0,7071 = 6,937 N

F = μN = 0,35·6,937 = 2,428 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 2,428·10 = 24,28 J

Відповідь

W_f = 24,28 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 27,68 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(3,5 − 0,15·2,5) = 30,66 J

Найбільше стиснення

½kx² = 30,66 → x = √(2·30,66/800) = 0,2768 m = 27,68 cm

Відповідь

x = 27,68 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 8 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (5 − 2,5)/(5 + 2,5)·6 = 2 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 2,5)·6 = 8 m/s

Відповідь

v′₂ = 8 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 390 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,25·(18 + 21) = 9,75 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 9,75/0,025 = 390 N

Відповідь

F_avg = 390 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 1,948 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,8/2π)² = 1,948 m

Відповідь

L = 1,948 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 26,67 m/s²

Кутова частота

ω = √(400/1,5) = 16,33 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,1·16,33² = 26,67 m/s²

Відповідь

a_max = 26,67 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β = 93,96 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Інтенсивність

I = P/(4πr²) = 0,002487 W/m²

Рівень

β = 10·log₁₀(0,002487/10⁻¹²) = 93,96 dB

Відповідь

β = 93,96 dB

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −30 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Фокусна відстань

f = R/2 = 15 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/10

d_i = −30 cm

Хід променів

уявне зображення за дзеркалом

Відповідь

d_i = −30 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics